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'''原群'''（{{Lang-en|Magma}}）是[[抽象代數]]领域中一種基本[[代數結構]]。原群定义为一個[[集合 (数学)|集合]]和这个集合上满足[[閉包 (數學)|封閉性]]的一个[[二元運算]]，即：对于集合<math>M</math>和<math>M</math>上的一个二元运算<math>\bullet</math>，若满足<math>M</math>中的任意两个元素经过<math>\bullet</math>作用，得到的结果仍在<math>M</math>中，则称它们构成一个原群，记作<math>(M,\bullet)</math>。

==類型==
{{Group-like structures}}
通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括：
* [[擬群]]－[[可除]]總是可能的[[空集|非空]]原群；
* [[環群]]－有[[單位元]]的擬群；
* [[半群]]－運算為[[結合律|可結合]]的原群；
* [[么半群|-{zh-cn:幺半群; zh-tw:么半群;}-]]－有[[單位元]]的半群；
* [[群]]－有[[逆元]]的-{zh-cn:幺半群; zh-tw:么半群;}-，或等價地說，可結合的環群；
* [[阿貝爾群]]－運算為[[交換律|可交換]]的群。

[[File:Magma to Group zh-tw.svg|thumb|400px|left|從原群到群的各種路徑。]]

{{clear}}

==原群的態射==
原群的[[態射]]是一個函數 <math>f:M\to N</math> ，將原群 ''M'' 映射至原群 ''N'' 上，並保留其二元運算：

:<math>f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)</math>

其中的 <math>*_M</math> 和 <math>*_N</math> 分別代表著在 ''M'' 和 ''N'' 上的二元運算。

==自由原群==

在一集合 ''X'' 上的'''自由原群''' <math>M_X</math> 是指由集合 ''X'' 產生出的「最一般可能的」自由原群（並沒有任何的關係或公理在產生子上；詳見[[自由對象]]）。自由原群可以用[[計算機科學]]中熟悉的詞彙來描述，如同其樹葉被 ''X'' 內的元素標示的[[二元樹]]的原群，其運算是將樹在樹根上連結。因此，自由原群在[[句法學]]中有著很基本的重要性。

自由原群有個[[泛性質]]，其內容為：若 <math>f:X\to N</math> 是一個從集合 ''X'' 映射至任一原群 ''N'' 的函數，則會存在唯一一個 <math>f</math> 至原群態射 <math>f^\prime</math> 的擴張。其中，

:<math>f^\prime:M_X \to N</math> 

==另見==
*[[自由半群]]
*[[自由群]]
*[[自由李群]]

==參考文獻==
<references />
* {{springer|id=m/m110040|author=M. Hazewinkel|title=Magma}}
* {{springer|id=f/f110190|author=M. Hazewinkel|title=Free magma}}
* {{mathworld|urlname=Groupoid|title=Groupoid}}

[[Category:二元运算|U]]
[[Category:非结合代数|U]]
[[Category:代数结构]]