查看“︁原時”︁的源代码

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[[Image:Proper and coordinate time.png|thumb|藍色豎線代表一個[[惯性参考系|慣性]]觀測者所測量的事件 ''E''<sub>1</sub> 和 ''E''<sub>2</sub> 之間的{{link-en|坐標時|Coordinate time}}間隔 ''t''，紅色曲線代表事件 ''E''<sub>1</sub> 和 ''E''<sub>2</sub> 之間的'''原時'''間隔 <math>\tau</math>。]]

'''原時'''（{{lang-en|'''proper time'''}}），或称'''固有時間'''，是在[[相對論]]中與[[事件]]位在同處的時鐘所測量的唯一[[時間]]，他不僅取決於事件，時鐘也在事件的行動之中。對同一個事件，一個加速中的時鐘所測得的原時會比在非加速（[[慣性]]）中時鐘的原時為短。[[雙生子佯謬]]就是其中的一個例子。

在四維[[時空]]中，原時類似在三維空間（[[歐幾里得空間]]）的[[弧長]]。在習慣上，原時通常使用希臘字母<math>\tau</math>來標示，以與協調時<math>t</math>有所區別。

相對的，[[協調時]]（{{lang-en|coordinate time}}）能由一個與事件有一段距離的觀測者來應用。在[[狹義相對論]]中，協調時總是由在慣性系統內有關聯的觀測者計算，而原時則由同在加速中的觀測者測量。

== 數學形式 ==
原時的定義中，包含路徑在時空中的描述，和那個時空的[[度量結構]]，这个路径可以代表時鐘、觀測者或粒子。

=== 狹義相對論 ===

在[[狹義相對論]]，原時的定義如下：

<math>\tau
= \int \sqrt {1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} dt
= \int \sqrt {1 - \frac{1}{c^2} \left ( \left (\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{dt}\right)^2 \right) } dt</math>,

此處，<math> v(t) </math>是在協調時<math> t </math>的座標速度，<math>x</math>、<math>y</math>和<math>z</math>是[[空間]]中的[[直角|正交]]座標。

如果<math>t</math>、<math>x</math>、<math>y</math>和<math>z</math>都用一個參量<math>\lambda</math>的參數，公式可以簡化為：

<math>\tau
= \int \sqrt {\left (\frac{dt}{d\lambda}\right)^2  - \frac{1}{c^2} \left ( \left (\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 + \left (\frac{dy}{d\lambda}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{d\lambda}\right)^2 \right) } d\lambda</math>.

以微分的型式可以寫成路徑的積分：

<math>\tau = \int_P \sqrt {dt^2 - dx^2/c^2 - dy^2/c^2 - dz^2/c^2}</math>,

此處，<math>P</math>是時鐘在時空中的路徑。

為讓事件簡化，在狭义相對論中的[[慣性]][[運動]]可以轉化成對瞬時座標成常數比的空間座標。這進一步簡化了原時方程式：

<math>\Delta \tau = \sqrt{\Delta t^2 -  \Delta x^2/c^2 -  \Delta y^2/c^2 - \Delta z^2/c^2}</math>,

此處，<math>\Delta</math>的意思是在兩個[[時空#基本觀念|事件]]''的變化''。

狭义相對論的方程式是後續的一般狀況中的特例。

=== [[廣義相對論]] ===
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== 狹義相對論中的例子 ==

=== 例一：雙生子佯謬 ===
在雙胞胎佯謬里。Alice所處座標系統是慣性座標。她座標在所處系統内從<math>(0,0,0,0)</math>移動到<math>(10\text{yr},0,0,0)</math>：即她在原點<math>x=y=z=0</math>上停留10年。她的原時是：
:<math>\Delta \tau_{A} = \sqrt{\Delta t_{A}^2} = 10\text{yr}</math>
在狭義相對論里，只有在處於靜止的座標，原時和座標時間一樣。

如果另外一人Bob，在Alice的座標內在<math>(0,0,0,0)</math>出發，以0.8c運動5年到<math>(5\text{yr},4\text{ly},0,0)</math>。到達後Bob加速（忽略加速過程）、反方向運動再移動5年回Alice的原點<math>(10\text{yr},0,0,0)</math>。前後两段原時分别是：
:<math>\Delta \tau_{B}= \sqrt{\Delta t_{B}^2-\Delta x_{B}^2}=3\text{yr}</math>

因此在Bob來回運動原時差是6年。這正等於在Bob座標里經歷的座標時間。這表示原時方程式裡自動包括了狭義相對論的時間扩張等作用。事實上在狭義相對論時空里運動的物件經歷的原時差是：
:<math>\Delta \tau = \sqrt{\Delta t^2-\frac{v_x^2}{c^2} \Delta t^2-\frac{v_y^2}{c^2} \Delta t^2- \frac{v_z^2}{c^2} \Delta t^2} = \Delta t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>
正是時間扩張公式。

=== 例二：旋轉盤 ===
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== 廣義相對論中的例子 ==
=== 例三：旋轉盤（again） ===
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=== 例四：史瓦西解–地球上的時間 ===

原時方程式有一個新增的[[史瓦西解]]：

<math>d\tau = \sqrt{\left( 1 - 2m/r \right ) dt^2 - \frac{1}{c^2}\left ( 1 - 2m/r \right )^{-1} dr^2 - \frac{r^2}{c^2} d\theta^2 - \frac{r^2}{c^2} \sin^2 \theta \; d\phi^2}</math>,

== 相關條目 ==
* [[狹義相對論]]
* [[廣義相對論]]
* [[時間膨脹]]
* [[勞侖茲變換]]
* [[四維矢量]]
* [[閔考夫斯基空間]]

== 參考資料 ==
<references/>

{{時間}}
{{時間導航}}
{{狹義相對論}}

[[Category:相對論|Y]]
[[Category:守時|Y]]
[[Category:闵可夫斯基时空]]

[[de:Zeitdilatation#Allgemeine Zeitdilatation]]