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[[度量空间]]''(M,d)''上的'''压缩映射'''（{{lang-en|Contraction mapping}}），或'''压缩'''，是一个从''M''到它本身的[[函数]]''f''，存在某个[[实数]]<math>0 < k < 1</math>，使得对于所有''M''内的''x''和''y''，都有：
:<math>d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).</math>
满足以上条件的最小的''k''称为''f''的'''利普希茨常数'''。压缩映射有时称为'''利普希茨映射'''。如果以上的条件对于所有的<math>0 < k \leq 1</math>都满足，则该映射称为''非膨胀的''。

更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果''(M,d)''和''(N,d')''是两个度量空间，则我们寻找常数''k''，使得<math>d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)</math>对于所有''M''内的''x''和''y''。
 
每一个压缩映射都是[[利普希茨连续]]的，因此是[[一致连续]]的。 

一个压缩映射最多有一个[[不动点]]。另外，[[巴拿赫不动点定理]]说明，非空的[[完备空间|完备]]度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于''M''内的任何''x''，[[迭代函数]]序列''x''，''f'' (''x'')，''f'' (''f'' (''x''))，''f'' (''f'' (''f'' (''x'')))，……收敛于不动点。这个概念在[[迭代函数系统]]中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明[[反函数定理]]。<ref name="shifrin">Theodore Shifrin, ''Multivariable Mathematics'', Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244-260.</ref>

==参见==
* [[短映射]]
* [[压缩 (算子理论)]]

==注释==
{{reflist}}

==参考文献==
* Vasile I. Istratescu, ''Fixed Point Theory, An Introduction'', D.Reidel, Holland (1981).  ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
* Andrzej Granas and James Dugundji, ''Fixed Point Theory'' (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
* William A. Kirk and Brailey Sims, ''Handbook of Metric Fixed Point Theory'' (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2

[[Category:度量几何]]
[[Category:不动点]]