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[[File:Winding Number Around Point.svg|thumb|right|250px|这条曲线关于点''p''的卷绕数是2。]]
[[平面 (数学)|平面]]上的闭[[曲线]]关于某个点的'''卷绕数'''（Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的[[定向]]有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。

卷绕数在[[代数拓扑]]中是基本的概念，在[[向量分析]]、[[复分析]]、[[几何拓扑]]、[[微分几何]]和[[物理学]]中也扮演了重要的角色。

==描述==
[[File:Winding Number Animation Small.gif|right|thumb|300px|沿着红色曲线移动的物体绕着原点逆时针旋转了两圈。]]

假设在''xy''平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹，运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。

计算绕过原点的总次数时，逆时针方向的运动算正数，顺时针方向的运动算负数。例如，如果物体首先依逆时针方向绕过原点四次，然后再依顺时针方向绕过原点一次，那么曲线的卷绕数就是3。

利用这种方案，根本不绕过原点的曲线的卷绕数就是零，而顺时针绕过原点的曲线的卷绕数就是负数。因此，曲线的卷绕数可以是任何[[整数]]。以下的图中显示了卷绕数为-2、-1、0、1、2和3的曲线：

{| align="center" border=0 cellpadding=0
|-valign="center"
|<math>\cdots</math>
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[File:Winding Number -2.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[File:Winding Number -1.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[File:Winding Number 0.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|
|-valign="top" style="height:3em"
|
|align="center"|&minus;2
|align="center"|&minus;1
|align="center"|0
|
|-valign="center"
|
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[File:Winding Number 1.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[File:Winding Number 2.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[File:Winding Number 3.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|<math>\cdots</math>
|-valign="top"
|
|align="center"|1
|align="center"|2
|align="center"|3
|
|}

==正式的定义==
''x-y''平面上的曲线可以用[[参数方程]]来定义：

:<math>x = x(t)\quad , \quad y=y(t)\qquad (0 \leq t \leq 1).</math>

如果我们把参数''t''视为时间，那么这个方程就描述了物体在{{nowrap|1= ''t'' = 0}}和{{nowrap|1= ''t'' = 1}}期间在平面上的运动。只要[[函数]]''x''(''t'')和''y''(''t'')是[[连续]]的，运动的轨迹就是一条曲线。只要物体的位置于{{nowrap|1= ''t'' = 0}}和{{nowrap|1= ''t'' = 1}}时相同，这条曲线就是闭曲线。

我们可以用[[极坐标系]]来定义这种曲线的卷绕数。假设曲线不经过原点，我们可以把参数方程写成极坐标的形式：

:<math>r = r(t)\quad , \quad \theta = \theta(t)\qquad (0 \leq t \leq 1).</math>

函数''r''(''t'')和''&theta;''(''t'')必须是连续的，{{nowrap| ''r'' &gt; 0}}。因为最初和最终的位置是相同的，所以''&theta;''(0)和''&theta;''(1)的差必须是2''&pi;''的整数倍。这个整数就是卷绕数：

:卷绕数<math> = \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}</math>

这个公式定义了''xy''平面上曲线关于原点的卷绕数。把坐标系平移，我们就可以把这个定义推广到关于任何点''p''的卷绕数。

==其它定义==
卷绕数在不同的数学领域中通常有不同的定义。以下的定义都与上面的定义等价。

===微分几何===
在[[微分几何]]中，通常假设参数方程是可微的（或至少分段可微的）。在这种情况下，极坐标系''&theta;''与直角坐标系''x''和''y''有以下的关系：

:<math>d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad </math>，其中<math>r^2 = x^2 + y^2.</math>

根据[[微积分基本定理]]，''&theta;''的总变化等于''d&theta;''的[[积分]]。因此，我们可以把可微曲线的卷绕数表示为一个[[曲线积分]]：

:卷绕数<math> = \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}
\,dx.</math>

===复分析===
在[[复分析]]中，闭曲线''C''的卷绕数可以表示为复数坐标{{nowrap|1= ''z'' = ''x'' + ''iy''}}。特别地，如果我们记''z''&nbsp;=&nbsp;''re''<sup>''i&theta;''</sup>，那么：

:<math>dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta\!\,</math>

因此：

:<math>\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.</math>

ln(''r'')的总变化是零，因此''dz''&nbsp;&frasl;&nbsp;''z''的积分等于''i''乘以''&theta;''的总变化。所以：

:卷绕数<math> = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.</math>

更加一般地，''C''关于任何复数''a''的卷绕数由以下的公式给出：

:<math>\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.</math>

这是[[柯西积分公式]]的一个特例。卷绕数在复分析中扮演了一个十分重要的角色（例如在[[留数定理]]的表述中）。

==回转数==
我们也可以考虑曲线关于它本身的卷绕数（又称为回转数，{{lang|en|turning number}}），也就是曲线的切向量旋转的次数。在右面的图中，曲线的回转数是4（或&minus;4），那个小的回路也计算在内。这只对可微且光滑的曲线才有定义。参见：[[回转切线定理]]。

==参见==
* [[留数定理]]
* [[环绕数]]

==参考文献==
*Krantz, S. G. "The Index or Winding Number of a Curve about a Point." §4.4.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 49-50, 1999. 

==外部链接==
*{{planetmath reference|title=Winding number|id=3291}}

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:复分析|J]]