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{{noteTA
|G1=Signals and Systems
}}
'''卷积定理'''指出，函数[[卷积]]的[[傅里叶变换]]是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如[[时域]]中的卷积对应于频域中的乘积。

: <math>\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}</math>

其中<math>\mathcal{F}(f)</math>表示''f'' 的[[傅里叶变换]]。下面这种形式也成立：

: <math>\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}</math>

借由傅里叶逆变换<math>\mathcal{F}^{-1}</math>，也可以写成

: <math>f*g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F}\{f\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\big\}</math>

注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式[[正规化]]，使得上面的关系式中出现其它的[[常数因子]]。

这一定理对[[拉普拉斯变换]]、[[双边拉普拉斯变换]]、[[Z变换]]、[[梅林变换]]和[[Hartley变换]]（参见{{link-en|Mellin inversion theorem|Mellin inversion theorem|Mellin inversion theorem}}）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在[[调和分析]]中还可以推广到在局部紧致的[[阿贝尔群]]上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为<math>n</math>的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做<math>2n-1</math>组对位乘法，其[[计算复杂度]]为<math>\mathcal{O}(n^2)</math>；而利用[[傅里叶变换]]将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的[[快速傅里叶变换|快速算法]]之后，总的计算复杂度为<math>\mathcal{O}(n\log n)</math>。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

==证明==

''这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。如果傅里叶变换的形式不同，则推导中将会增加一些常数因子。'' 

令<math>f</math>, <math>g</math>属于''L''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)。<math>F</math>为<math>f</math>的傅里叶变换，<math>G</math>为<math>g</math>的傅里叶变换：
:<math>F(\nu) = \mathcal{F}\{f\} = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \, \mathrm{d}x </math>
:<math>G(\nu) = \mathcal{F}\{g\} = \int_{\mathbb{R}^n}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \, \mathrm{d}x, </math>
其中''x''和''ν''之间的''点''表示'''R'''<sup>''n''</sup>上的[[内积]]。
:<math>h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x. </math>

现在发现，

:<math> \int\!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.</math>

因此，通过[[富比尼定理]]我们有<math>h\in L^1(\mathbb{R}^n)</math>，于是它的傅里叶变换<math>H</math>由积分式定义为

:<math>
\begin{align}
  H(\nu) = \mathcal{F}\{h\} &= \int_{\mathbb{R}} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\nu}\, dz \\
                            &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\, dz.
\end{align}
</math>

观察到<math> |f(x)g(z-x)e^{-2\pi i z\cdot\nu}|=|f(x)g(z-x)|</math>，因此对以上变量我们可以再次应用富比尼定理（即交换积分顺序）：

:<math>H(\nu) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n} g(z-x)e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\,dz\right)\,dx.</math>

代入 <math>y=z-x</math>; <math>dy = dz</math>

:<math>H(\nu) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}} g(y) e^{-2 \pi i (y+x)\cdot\nu}\,dy \right) \,dx</math>

:::<math>=\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \nu} \left( \int_{\mathbb{R}} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\nu}\,dy \right) \,dx</math>

:::<math>=\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \nu}\,dx \int_{\mathbb{R}} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\nu}\,dy.</math>

这两个积分就是<math>F(\nu)</math>和<math>G(\nu)</math>的定义，所以：
:<math>H(\nu) = F(\nu) \cdot G(\nu),</math>

==相關條目==

*[[卷积]]

==參考資料==

==外部連結==

[http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html Mathworld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html |date=20210224034622 }}

[[Category:信号处理|J]]
[[category:数学定理|J]]
[[Category:傅里叶分析|J]]