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|G1 = Math
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'''卢曼-缅绍夫定理'''（{{lang-en|Looman–Menchoff theorem}}）是[[复分析]]中的一条定理，可用于判断复函数的解析性。该定理指出，定义在[[复平面]]上某个区域内的[[连续函数]]是[[解析函数]]，当且仅当其视作<math>\R^2 \to \R^2</math>的映射时，四个[[偏导数]]处处存在且满足[[柯西-黎曼方程]]。该定理由卢曼于1923年提出，于1931年由缅绍夫给出完整证明。虽然定理涉及初等数学领域，但其证明需运用现代实变函数理论。<ref name="when">{{cite journal|title=When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?|doi=10.2307/2321164|issue=4|pages=246–256|journal=The American Mathematical Monthly|url=http://www.jstor.org/stable/2321164|volume=85|date=1978|accessdate=2018-09-06|author=J. D. Gray, S. A. Morris|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20180907221341/https://www.jstor.org/stable/2321164|archive-date=2018-09-07|dead-url=no}}</ref><ref name="analogues">{{cite journal|title=The Looman-Menchoff theorem and some subharmonic function analogues|url=https://www.ams.org/home/page/|date=1955|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=6|issue=1|doi=10.1090/S0002-9939-1955-0069965-7|pages=94–105|issn=0002-9939|language=en-US|accessdate=2018-09-06|author=Maynard G. Arsove|archive-url=https://web.archive.org/web/20180816195206/http://www.ams.org/home/page|archive-date=2018-08-16|dead-url=no}}</ref>

== 背景 ==
定义在复平面内的区域上的复解析函数<math>f {(x+iy)}=u+i v</math>在整个定义域内满足柯西-黎曼方程：<ref name="when"/><ref name="analogues"/>
:<math>{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }, </math>
:<math>{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x }.</math>

上述命题的部分逆命题亦成立，例如：额外假定<math>f</math>作为实函数在区域内处处可微，或是假定<math>f</math>的偏导数处处连续，同时满足柯西-黎曼方程，均可推出<math>f</math>是区域内的解析函数；其中前一个命题由{{link-en|爱徳华·古尔萨|Édouard Goursat}}在1900年证明，又被称为古尔萨定理。<ref name="generalization">{{cite journal|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02807221|issue=1|doi=10.1007/bf02807221|pages=93–103|title=A generalization of the Looman-Menchoff theorem|volume=70|journal=Israel Journal of Mathematics|date=1990-02|issn=0021-2172|language=en|accessdate=2018-09-08|author=N. V. Rao|archive-url=https://web.archive.org/web/20180909000227/https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02807221|archive-date=2018-09-09|dead-url=no}}</ref>实际上，这些附加条件存在放宽的余地。<ref name="when"/>20世纪初，人们对放宽函数解析性的判定条件这一问题开展了大量的研究。1905年，{{link-en|迪米特里耶·蓬佩尤|Dimitrie Pompeiu}}指出，古尔萨定理的附加条件可以放宽到“函数在区域内[[几乎处处]]可微”。之后，卢曼和{{link-en|迪米特里·缅绍夫|Dmitrii Menshov}}在这一领域做出了重要的贡献。<ref name="analogues"/><ref name="generalization"/>

卢曼注意到，仅仅假定偏导数在区域内处处存在，且满足柯西-黎曼方程，并不足以保证函数在区域上的解析性——甚至不能保证函数在其上的[[连续性]]：如下定义的复变函数，在复平面上处处可求偏导，且偏导数满足柯西-黎曼方程，但它在原点处并不解析：<ref name="when"/>
:<math>
f(z)=\left\{\begin{align}
\exp(-z^{-4}), & & {z \neq 0} \\
0, & & {z = 0}
\end{align}\right.
</math>

1923年，卢曼断言只要附加函数在区域上连续的条件，就可以推出函数的解析性，从而强化了古尔萨定理。然而，卢曼当时的证明中存在一个漏洞。缅绍夫于1931年发表的证明则弥补了这一漏洞，他的证明用到了[[勒贝格积分]]和[[贝尔纲定理]]。1933年，数学家{{tsl|en|Stanislaw Saks|斯坦尼斯拉夫·萨克斯}}回顾了这一证明，并将其命名为“卢曼-缅绍夫定理”。<ref name="generalization"/><ref name="thesis">{{cite thesis|title=a theorem of looman - menchoff|author=Donald Carvel Ferguson|year=1958|language=en}}</ref>萨克斯对该证明评价甚高：“毫无疑问，它是现代[[实变函数]]理论在初等数学领域最优美和令人意外的应用之一”。<ref name="when"/>

== 定理的陈述和证明 ==
设<math>D</math>为复平面<math>\Complex</math>上的开集，<math>f {(x+iy)}=u+i v</math>为定义在<math>D</math>上的连续复变函数。若偏导数<math>\partial u \over \partial x </math>、<math> \partial v \over \partial y</math>、<math>\partial u \over \partial y </math>、<math>\partial v \over \partial x </math>在<math>D</math>上处处存在且处处满足柯西-黎曼方程，则<math>f</math>为<math>D</math>上的解析函数。

=== 引理 ===
为证明卢曼-缅绍夫定理，需要先证明如下引理：<ref name="when"/><ref name="thesis"/><ref name="complex">{{cite journal|url=https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4612-0175-5|doi=10.1007/978-1-4612-0175-5|title=Complex Analysis in One Variable|date=2001|language=en-gb|accessdate=2018-09-30|author=Raghavan Narasimhan, Yves Nievergelt|page=43-50|journal=|archive-url=https://web.archive.org/web/20180930081523/https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4612-0175-5|archive-date=2018-09-30|dead-url=no}}</ref>

设<math>R</math>为<math>\R^2</math>上的正方形，<math>f</math>为<math>R</math>到<math>\R</math>的映射，且在<math>R</math>内处处可求偏导。若存在<math>R</math>的某个非空闭集<math>E</math>和正数<math>N</math>，使得：
:<math>\forall (x,y) \in E, (w,y) \in R, (x,v) \in R: \left | f(x,y)-f(x,v) \right | \leqslant N \left | y-v \right |, \left | f(x,y)-f(w,v) \right | \leqslant N \left | x-w \right |</math>

记<math>[a,b] \times [c,d]</math>为包含<math>E</math>的最小矩形，则有：
:<math>\left | \int_{a}^{b}(f(x,d)-f(x,c)) dx-\int_{E} {\partial f \over \partial y} d \sigma \right | \leqslant 5N m(R-E)</math>
:<math>\left | \int_{c}^{d}(f(b,y)-f(a,y)) dy-\int_{E} {\partial f \over \partial x} d \sigma \right | \leqslant 5N m(R-E)</math>

其中<math>m(A)</math>代表集合<math>A</math>的测度。为证明该引理，可以先考虑一维的情形。这时，<math>R</math>为实轴上的区间<math>[a,b]</math>，而<math>E</math>为其内一个闭集。可以在<math>R</math>上定义一个辅助函数，它在<math>E</math>内取<math>f</math>，在<math>I-R</math>内取分段线性函数，并保持边界处连续。可以证明，该辅助函数在整个<math>R</math>上[[利普希茨连续]]，因此[[绝对连续]]，几乎处处可导，且导函数可积。而<math>E</math>的孤立点集至多可数，在<math>E</math>非孤立点集上，辅助函数和<math>f</math>的导数又几乎处处相等。故而：
:<math>\left | f(b) - f(a) -\int_{E} {\partial f \over \partial x} d x \right | \leqslant N m(R-E)</math>

回到引理，由于<math>[a,b] \times [c,d]</math>是包含闭集<math>E</math>的最小矩形，在区间<math>[c,d]</math>上必然存在点<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>，使得<math>(a,\alpha), (b, \beta) \in E</math>。对<math>[c,d]</math>上的任何一点<math>\chi</math>，都有：
:<math>|f(a,\chi)-f(b,\chi)| \leqslant |f(a, \chi)-f(a,\alpha)| + |f(a,\alpha)- f(b, \alpha)|+ |f(b,\alpha)- f(b, \beta)|+|f(b,\beta)- f(b, \chi)| \leqslant 4N L</math>

其中<math>L</math>为<math>R</math>的边长。记<math>E</math>中所有点纵坐标的集合为<math>A</math>，<math>A</math>在<math>[c,d]</math>中的补集为<math>B</math>。则<math>f(a,\chi)-f(b,\chi)</math>在<math>B</math>上的积分满足：
:<math>|\int_{B} ( f(a,\chi)-f(b,\chi))d\chi| \leqslant \int_{B}4N L d\chi \leqslant 4N m(R-E)</math>

另一方面，<math>\forall \chi \in A</math>，可以证明<math>E_{\chi}=\{(\phi,\chi)|(\phi,\chi)\in E\}</math>是闭集。因此，对连接<math>(a,\chi)</math>和<math>(b,\chi)</math>的线段使用上述一维情形的结论，可知：
:<math>\left | f(b,\chi) - f(a,\chi) -\int_{E_{\chi}} {\partial f \over \partial x} d x \right | \leqslant N (b-a-m(E_{\chi}))</math>

将上式在<math>A</math>上积分，并将[[富比尼定理|重积分化作累次积分]]，可得：
:<math>|\int_{A} ( f(a,\chi)-f(b,\chi))d\chi-\int_{E} {\partial f \over \partial x} d \sigma | \leqslant  N m(R-E)</math>

注意到下式即可证明引理：
:<math>|\int_{E} ( f(a,\chi)-f(b,\chi))d\chi-\int_{E} {\partial f \over \partial x} d \sigma | \leqslant |\int_{B} ( f(a,\chi)-f(b,\chi))d\chi| + |\int_{A} ( f(a,\chi)-f(b,\chi))d\chi-\int_{E} {\partial f \over \partial x} d \sigma | \leqslant 5 N m(R-E)</math>

=== 证明概要 ===
记<math>E</math>为<math>D</math>中<math>f</math>不解析的点的集合。利用[[反证法]]：假设<math>E</math>非空，只需证明存在<math>E</math>的一个子集，使得<math>f</math>在其上解析，即可推出矛盾，进而说明原命题成立。

利用[[莫雷拉定理|解析性和围道积分]]的关系可以证明<math>E</math>是一个[[闭集]]。定义<math>E_n</math>为<math>D</math>的具备如下性质的子集：
:<math>E_n=\{ z|z \in D, \left|f(z+h)-f(z) \right |\leqslant n\left| h \right|,\left|f(z+i h)-f(z) \right |\leqslant n\left| h \right|,\forall h \in \R,D(z,h) \subset D, \left| h \right| \leqslant 1/n \}</math>

由<math>f</math>的连续性和处处可求偏导的性质分别可以推出<math>E_n</math>是闭集，且<math>E \subset D \subseteq \cup_{n=1}^{\infty} E_n</math>。因此，由[[贝尔纲定理]]，必然至少存在一个<math>E_k</math>和<math>D</math>中开集<math>K</math>，使得<math>\empty \ne E \cap K \subseteq E_k</math>。

设<math>Q</math>是<math>K</math>中任意一个边长小于<math>1/k</math>，且交<math>E</math>非空的正方形。可证<math>u(x+iy)</math>、<math>v(x+iy)</math>作为<math>Q \to \R</math>的映射，均满足引理要求的一切条件。因此，在包含<math>E \cap Q</math>的最小矩形<math>R=[a,b] \times [c,d]</math>上：
:<math>\left | \int_{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c)) dx-\int_{E \cap Q} {\partial v \over \partial y} d \sigma \right | \leqslant 5k m(Q-{E \cap Q})</math>
:<math>\left | \int_{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y)) dy-\int_{E \cap Q} {\partial u \over \partial x} d \sigma \right | \leqslant 5k m(Q-{E \cap Q})</math>

注意到<math>u</math>、<math>v</math>满足柯西-黎曼方程，可以得到对<math>f</math>在<math>R</math>边界上积分的虚部估计式：
:<math>\left | Im \oint_{\partial R} f dl \right | \leqslant \left | \int_{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c)) dx-\int_{E \cap Q} {\partial v \over \partial y} d \sigma \right | + \left | \int_{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y)) dy-\int_{E \cap Q} {\partial u \over \partial x} d \sigma \right | \leqslant 10k m(Q-{E \cap Q})</math>

显然该积分的实部也满足类似的估计式。因此：
:<math>\left | \oint_{\partial R} f dl \right | =  \sqrt{\left | Im \oint_{\partial R} f dl \right |^{2} + \left | Re \oint_{\partial R} f dl \right |^{2}} \leqslant 10\sqrt{2}k m(Q-{E \cap Q})</math>

依定义，<math>f</math>在<math>Q-R</math>内解析，因此可将上式中的积分围道由<math>R</math>的边界扩大为<math>Q</math>的边界：
:<math>\left | \oint_{\partial Q} f dl \right | \leqslant 10\sqrt{2}k m(Q-{E \cap Q})</math>

记<math>Q_n \sub K</math>是任意一串收敛到<math>z \in K</math>的正方形序列。若<math>z \in E</math>，当<math>n</math>充分大时，所有<math>Q_l \sub K, l>n</math>的边长都小于<math>1/k</math>，因此：
:<math>\limsup_{n \to \infty} \frac{\left | \oint_{\partial Q_n} f dl \right |}{m(Q_n)} \leqslant 10\sqrt{2}k < +\infty</math>
:<math>0 \leqslant\liminf_{n \to \infty} \frac{\left | \oint_{\partial Q_n} f dl \right |}{m(Q_n)} \leqslant 10\sqrt{2}k (1-\limsup_{n \to \infty} \frac{m(Q_n \cap E)}{m(Q_n)})</math>

由{{link-en|勒贝格密度定理|Lebesgue's density theorem}}，第二式右侧的极限作为<math>z</math>的函数几乎处处为1，因此左侧的下极限几乎处处为零。

若<math>z \in K-K\cap E</math>，当<math>n</math>充分大时，<math>f</math>在所有<math>Q_l \sub K, l>n</math>内解析，因此：
:<math>0=\liminf_{n \to \infty} \frac{\left | \oint_{\partial Q_n} f dl \right |}{m(Q_n)}=\limsup_{n \to \infty} \frac{\left | \oint_{\partial Q_n} f dl \right |}{m(Q_n)} < +\infty</math>

将围道积分视为集合函数，上述极限以及围道积分的连续性和可加性保证了围道积分几乎处处[[拉东-尼科迪姆定理|可导]]，且围道积分的值由导函数在集合上的积分给出。又因上述下极限在<math>K</math>上几乎处处为零，该导数在<math>K</math>上也几乎处处为零。这意味着<math>f</math>在<math>K</math>内的围道积分恒为零，即<math>f</math>在<math>K</math>乃至<math>E</math>的子集<math>E \cap K</math>内解析。矛盾。<ref name="when"/><ref name="thesis"/><ref name="complex"/><ref>{{cite book|title=Theory of the Integral|url=https://archive.org/details/theoryoftheinteg032192mbp|year=1937|author=Stanislaw Saks|publisher=Hafner Publishing|version=2|language=en|page=[https://archive.org/details/theoryoftheinteg032192mbp/page/n200 189]-201}}</ref>

== 参考文献 ==
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[[Category:复分析定理]]