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[[数学]]上，'''卡迪森-辛格問題'''（{{lang-en|Kadison–Singer problem}}）於1959年提出，有關[[泛函分析]]<ref name="MC">{{cite journal |author1 = {{le|Erica Klarreich}} |author2 = 赵京（译） |journal = 数学文化 |volume = 8 |issue = 3 |year = 2017 |title = 外行人破解困扰数学界50年的难题 |pages = 82–86 |url = http://www.global-sci.com/intro/article_detail/mc/12005.html |issn = 2070-545X |publisher = 全球科学出版社 |location = 香港 |access-date = 2021-10-16 |archive-date = 2021-10-19 |archive-url = https://web.archive.org/web/20211019190348/http://www.global-sci.com/intro/article_detail/mc/12005.html |dead-url = no }}</ref>，問某個特定[[C*-代数]]上的任意[[線性泛函]]，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出1940年代[[保罗·狄拉克]]對[[量子力学]]理論基礎的研究。1959年，{{link-en|理查德·卡迪森|Richard Kadison}}<!--沿用[[2018年8月逝世人物列表]]出現的譯名-->與[[艾沙道尔·辛格]]<ref>{{cite journal|first1=R.|last1=Kadison|first2= I.|last2=Singer|author2-link=艾沙道尔·辛格|title=Extensions of pure states|trans-title = 純態的延拓|journal={{le|美國數學期刊|American Journal of Mathematics|American Journal of Mathematics}}|date=1959|volume=81|issue=2|pages=383–400|mr=0123922|doi=10.2307/2372748|jstor=2372748|language = en}}</ref>給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。<ref name=det>{{cite book|last1=Casazza|first1= P. G.|last2= Fickus|first2= M.|last3= Tremain|first3= J. C.|last4= Weber|first4= E.|chapter=The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account |trans-chapter = 數學與工程學的卡迪森-辛格問題：詳解|series=Contemporary Mathematics|title=Operator theory, operator algebras, and applications|trans-title = 算子理論、算子代數、應用|editor1-first = Deguang |editor1-last = Han|editor2-first = Palle E. T. |editor2-last = Jorgensen| editor3-first = David Royal |editor3-last = Larson|date=2006|volume=414|pages=299–355|arxiv=math/0510024|mr=2277219|doi=10.1090/conm/414/07820|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, RI|isbn= 9780821839232 |language = en}}</ref><ref name=con/>卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一）<ref name=det/><ref name=con>{{cite arXiv|title=Consequences of the Marcus/Spielman/Srivastava solution to the Kadison–Singer Problem|trans-title = 卡迪森-辛格問題的馬庫斯/斯皮爾曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推論|first=Peter G.|last= Casazza|date=2015|eprint=1407.4768|class=math.FA|language = en}}</ref>，然而於2013年，{{link-en|亞當·馬庫斯|Adam Marcus (mathematician)}}<!--參考[[魯道夫·馬庫斯]]的姓-->、{{link-en|丹尼爾·斯皮爾曼|Daniel Spielman}}<!--沿用[[內萬林納獎]]出現的譯名-->、{{link-en|尼基·斯里瓦斯塔瓦|Nikhil Srivastava}}<!--參考[[勝王龍屬]]中的蘇雷什·斯里瓦斯塔瓦（Suresh Srivastava）的姓和[[尼基·阿凡提]]的名-->合著論文<ref name = "MSS2">{{cite arXiv|last1=Marcus|first1= Adam|last2=Spielman|first2= Daniel A.|last3=Srivastava|first3=Nikhil|year=2013|title=Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem|trans-title = 相交族之二：混合特徵多項式與卡迪森-辛格問題|eprint=1306.3969|class=math.CO|language = en}}</ref>給出肯定的答案。翌年，三人因此獲{{le|工業與應用數學會|Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM}}頒發{{link-en|波利亞·哲爾吉獎|George Pólya Prize|波利亞獎}}。<ref>{{cite web | author = Rob Knies | url = https://www.microsoft.com/en-us/research/blog/conjecture-proof-leads-to-plya-prize/ | title = Conjecture Proof Leads to Pólya Prize | trans-title = 因證明猜想獲波利亞獎 | format = 網誌 | work = Microsoft Research Blog | language = en | date = 2014-07-09 | access-date = 2021-10-16 | archive-date = 2021-10-20 | archive-url = https://web.archive.org/web/20211020085927/https://www.microsoft.com/en-us/research/blog/conjecture-proof-leads-to-plya-prize/ | dead-url = no }}</ref>

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。<ref name= "MC"/>{{rp|83}}馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C*-代数的语言来描述它」<ref name= "MC"/>{{rp|86}}。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（{{lang|en|Joel Anderson}}）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。<ref name= "MC"/>{{rp|84}}安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（{{lang-en|paving conjecture}}）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維[[希爾伯特空間]]的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛<!--參考[[傑瑞·威佛]]的姓-->（{{lang|en|Nik Weaver}}），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。<ref name= "MC"/>{{rp|85}}而此版本用交織多項式族（{{lang-en|interlacing family}}）獲解決。<ref name=disc>{{cite web|title=Discrepancy, Graphs, and the Kadison–Singer Problem|trans-title=偏差、圖、卡迪森-辛格問題|work=Windows on Theory|first=Nikhil|last=Srivastava|format=網誌|date=July 11, 2013|url=http://windowsontheory.org/2013/07/11/discrepancy-graphs-and-the-kadison-singer-conjecture-2/|language=en|access-date=2021-10-16|archive-date=2021-04-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210413152042/https://windowsontheory.org/2013/07/11/discrepancy-graphs-and-the-kadison-singer-conjecture-2/|dead-url=no}}</ref>

== 原問題敍述 ==
先引入若干定義：
;<math>\boldsymbol\ell^2</math>:平方可和的複{{le|序列空間|Sequence space}}，即<math>\ell^2 = \left\{(x_1, x_2, \ldots): x_i \in \mathbb C, \sum_i \left|x_i\right|^2 < \infty\right\}</math>。此空間為[[可分空間|可分]][[希爾伯特空間]]，內積定義由<math>\langle x, y\rangle = \sum_i x_i \overline{y_i}</math>給出。
;<math>\boldsymbol B(\boldsymbol \ell^2)</math>: 從<math>\ell^2</math>到<math>\ell^2</math>的[[有界算子|連續線性算子]]組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、[[伴隨算子|伴隨]]等運算，構成一個[[C*-代数]]。
;<math>\boldsymbol D(\boldsymbol \ell^2)</math>: 從<math>\ell^2</math>到<math>\ell^2</math>的對角[[有界算子|連續線性算子]]集合。換言之，<math>D(\ell^2) = \left\{\left. f: \ell^2 \to \ell^2 \right| f(x) = (a_1x_1, a_2 x_2, \ldots), \text{ 其 中 } a_i \in \mathbb C, \text{ 且 } a_i \text{ 有 界 } \right\} </math>。<math>D(\ell^2)</math>包含於<math>B(\ell^2)</math>，故為其子C*-代数。
;態:C*-代數<math>A</math>上的{{link-en|態 (泛函分析)|state (functional analysis)|態}}，是連續線性泛函<math>\varphi:A\to \mathbb{C}</math>，將[[單位元]]<math>I</math>映到<math>1</math>，且對任意[[半正定]]的<math>T \ge 0</math>，有<math>\varphi(T) \ge 0</math>（即此時<math>\varphi(T)</math>要取實值，且該實值為非負）。
;純態:接續上項，<math>\varphi</math>稱為[[純態]]，意思是在<math>A</math>上所有態組成的集合中，<math>\varphi</math>是{{le|極端點|Extreme point}}，即不能寫成其他態的[[凸組合]]。

由[[哈恩-巴拿赫定理]]，<math>D(\ell^2)</math>上的任意泛函，必能延拓到<math>B(\ell^2)</math>上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：
<blockquote>對<math>D(\ell^2)</math>上的任意純態<math>\varphi</math>，<math>B(\ell^2)</math>上都存在唯一的態<math>\psi</math>，使<math>\psi</math>延拓<math>\varphi</math>，即兩者[[限制 (數學)|限制]]到<math>D</math>時等同。
</blockquote>

此命題已證為真。<ref name = "MSS2"/>

== 鋪砌猜想敍述 ==
卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下'''鋪砌猜想'''為真：<ref>{{cite journal|first=Joel|last=Anderson|title=Restrictions and representations of states on C∗-algebras|trans-title=C*-代數上，態的限制與表示|journal=Transactions of the American Mathematical Society|date=1979|volume=249|pages=303–329|mr=0525675|doi=10.2307/1998793|url=https://www.ams.org/tran/1979-249-02/S0002-9947-1979-0525675-1/|issue=2|jstor=1998793|language=en|access-date=2021-10-16|archive-date=2021-10-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20211016120511/https://www.ams.org/journals/tran/1979-249-02/S0002-9947-1979-0525675-1/|dead-url=no}}</ref>

<blockquote> 對任意的<math>\varepsilon>0</math>，存在正整數<math>k</math>使得：對每個<math>n</math>，以及對<math>n</math>維希爾伯特空間<math>\mathbb{C}^n</math>上的每個線性算子<math>T</math>（可視為<math>n\times n</math>方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將<math>\{1,\dots,n\}</math>[[集合劃分|分劃]]為<math>k</math>份<math>A_1,\dots, A_k</math>，使得
::<math>\|P_{A_j} T P_{A_j}\| \le \varepsilon \|T\| </math> 對於每個 <math>j=1,\ldots,k</math> 都成立。
此處<math>P_{A_j}</math>是[[正交投影]]，將<math>\mathbb C^n</math>（坐標以<math>1, 2, \ldots, n</math>為下標）映到坐標僅以<math>A_j</math>元素為下標的子空間。換言之，<math>P_{A_j} T P_{A_j}</math>是下標為<math>A_j</math>元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數<math>\|\cdot\|</math>取為[[矩陣範數#向量范数诱导的矩阵范数|譜範數]]，即來自<math>\mathbb{C}^n</math>上[[歐幾里德範數|歐氏範數]]的[[算子范数]]。
</blockquote>

注意命題中，<math>k</math>只能與<math>\varepsilon</math>有關，但不取決於<math>n</math>。

== 偏差敍述 ==
尼克·威佛（{{lang|en|Nik Weaver}}）證明，以下「{{link-en|偏差理論|discrepancy theory}}」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：<ref>{{cite journal|first=Nik|last=Weaver|title=The Kadison-Singer problem in discrepancy theory|trans-title = 偏差理論中的卡迪森-辛格問題|journal=Discrete Mathematics|volume=278|pages=227–239|date=2004|doi=10.1016/S0012-365X(03)00253-X|issue=1–3|arxiv=math/0209078 |language = en}}</ref>

<blockquote>設有向量<math>u_1,\ldots,u_m\in\mathbb{C}^d</math>，滿足<math>\sum_{i=1}^m u_i u_i^* = I</math>（<math>d\times d</math>單位方陣），且對每個<math>i</math>，<math>\|u_i\|_2^2\le\delta</math>。則存在一種方法將<math>\{1,\ldots,m\}</math>分劃成兩個子集<math>S_1</math>和<math>S_2</math>，使得對於<math>j = 1, 2</math>都有
:<math>\left\|\sum_{i\in S_j} u_i u_i^*\right\|\le \frac{\left(1+\sqrt{2\delta}\right)^2}{2}.</math>
</blockquote>

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（{{lang-en|interlacing families}}）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：
<blockquote>
設向量<math>v_1,\ldots,v_m\in\mathbb{R}^d</math>滿足<math>\|v_i\|_2^2\le\alpha</math>（對所有<math>i</math>），還有
:<math>\sum_{i=1}^m \langle v_i,x\rangle^2 =1 </math> 對滿足<math>\|x\| = 1</math>的所有向量<math>x\in\mathbb{R}^d</math>成立。
則可以將<math>\{1,\ldots,m\}</math>分劃成兩個子集<math>S_1</math>、<math>S_2</math>，使得對<math>j=1,2</math>，以及滿足<math>\|x\| = 1</math>的任意向量<math>x\in\mathbb{R}^d</math>，皆有：
:<math>\left|\sum_{i\in S_j} \langle v_i,x\rangle^2 -\frac{1}{2}\right|\le 5\sqrt{\alpha}.</math>
</blockquote>

「偏差」一詞的含義，在<math>\alpha</math>較小時顯明：在[[單位球面]]上取值恆為<math>1</math>的[[二次型]]，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離<math>1/2</math>的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於[[圖 (數學)|圖]]分劃的若干結果。<ref name=disc/>

==參考文獻==
{{reflist}}

==外部鏈結==
*{{cite web |title=An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture |trans-title=卡迪森-辛格問題與鋪砌猜想的介紹 |author=Nicholas J. A. Harvey |date=2013-07-11 |url=https://www.cs.ubc.ca/~nickhar/papers/KS/KS.pdf |language=en |access-date=2021-10-16 |archive-date=2021-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211021081802/https://www.cs.ubc.ca/~nickhar/papers/KS/KS.pdf |dead-url=no }}
*{{cite web|author = [[陶哲軒]]|title = Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem|trans-title = 實穩定多項式與卡迪森-辛格問題|url = https://terrytao.wordpress.com/2013/11/04/real-stable-polynomials-and-the-kadison-singer-problem/|format = 網誌|language = en|date = 2013-11-04|access-date = 2021-10-16|archive-date = 2022-01-19|archive-url = https://web.archive.org/web/20220119233603/https://terrytao.wordpress.com/2013/11/04/real-stable-polynomials-and-the-kadison-singer-problem/|dead-url = no}}

[[Category:算子理论]]
[[Category:量子力学]]