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{{Other uses|卡諾定理}}

[[File:Carnot theorem2.svg|345px|thumb|<math>\begin{align} & {} \qquad DG + DH + DF  \\ & {} = |DG| + |DH|- |DF| \\ & {} = R + r \end{align} </math>]]
设ABC为[[三角形]]，O为其[[外心]]。则O到ABC各边的距离之和为

:<math>OO_A+OO_B+OO_C=R+r</math>，

其中r为[[内切圆]]半径，R为[[外接圆]]半径。这个定理叫做'''卡诺定理'''（{{lang-fr|''Théorème de Carnot''}}），以[[拉扎尔·卡诺]]為名。

==引理==
在<math>\triangle ABC</math>中，<math>R</math>為<math>\triangle ABC</math>之外接圓半徑，且<math>r</math>為<math>\triangle ABC</math>之內切圓半徑，則
:<math>r=4R\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})</math>
==證明==
假設<math>\triangle ABC</math>為銳角三角形，<math>D</math>為<math>\triangle ABC</math>之外接圓圓心，<math>D</math>至<math>\triangle ABC</math>三邊之距離分別為<math>\overline{DG}</math>、<math>\overline{DH}</math>、<math>\overline{DF}</math>，其中<math>\overline{DG}</math>為<math>D</math>至<math>\overline{AB}</math>之距離，<math>\overline{DH}</math>為<math>D</math>至<math>\overline{BC}</math>之距離，<math>\overline{DF}</math>為<math>D</math>至<math>\overline{AC}</math>之距離。連接<math>D</math>與<math>B</math>，在<math>\triangle HDB</math>中，根據三角形外心性質，可以得到
:<math>\overline{DB}=R</math>
:<math>\angle{HDB}=\angle{A}</math>
所以，可以得到<math>\overline{DH}</math>的表示式，
:<math>\overline{DH}=R\cos (A)</math>
同理，亦可得到<math>\overline{DG}</math>和<math>\overline{DF}</math>的表示式，
:<math>\overline{DG}=R\cos (C)</math>
:<math>\overline{DF}=R\cos (B)</math>
因此，
:<math>\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}\,</math>
:<math>= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,</math>
:<math>=R(2\cos (\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin^2 (\frac{C}{2}))\, </math>
:<math>=R(2\cos (\frac{\pi-C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin (\frac{\pi-(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\, </math>
:<math>=R(2\sin (\frac{C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\cos (\frac{(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\, </math>
:<math>=R(2\sin (\frac{C}{2}) (\cos(\frac{A-B}{2})-\cos (\frac{(A+B)}{2}))+1)\, </math>
:<math>=R(4\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+1)\, </math>
:<math>=4R\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+R\, </math>
根據引理，即可得證，
:<math>\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}=R+r</math>
此外，若<math>\triangle ABC</math>為鈍角三角形，且<math>\angle{B}</math>大於<math>90</math>度，其餘符號假設均與上面相同，則可以得到，
:<math>\overline{DH}=R\cos (A)\,</math>
:<math>\overline{DF}=R\cos (\pi-B)=-R\cos (B)\,</math>
:<math>\overline{DG}=R\cos (C)\,</math>
所以，
:<math>\overline{DG}+\overline{DH}-\overline{DF}\,</math>
:<math>= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,</math>
:<math>=R+r\,</math>
故得證卡諾定理。

==參考資料==

* {{Cite journal |last=Perrier |first=Frédéric |date=2007-03 |title=Carnot's Theorem in Trigonometric Disguise |url=https://www.jstor.org/stable/40378302 |journal=The Mathematical Gazette |volume=91 |issue=520 |page=115-117 |access-date=2023-05-15 |archive-date=2020-10-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201020210940/https://www.jstor.org/stable/40378302 |dead-url=no }}

[[Category:几何定理]]
[[Category:三角形几何]]