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'''卡罗瑟斯方程'''（英文：'''Carothers equation'''）由美国化学家[[华莱士·卡罗瑟斯]]于1935年提出。方程给出了在[[逐步聚合]]中，[[聚合度]]''X''<sub>n</sub>,与反应程度 ''p''的关系。

==线性聚合物，等物质的量的两种单体==
逐步聚合反应中最简单的一个例子是两种等物质的量的[[单体]]形成完全线性的聚合物，典型的例子是一摩尔的[[六亚甲基二胺]]（H<sub>2</sub>N(CH<sub>2</sub>)<sub>6</sub>NH<sub>2</sub>）和一摩尔的[[己二酸]]（HOOC-(CH<sub>2</sub>)<sub>4</sub>-COOH)反应生成[[尼龙-6,6]]（[-NH-(CH<sub>2</sub>)<sub>6</sub>-NH-CO-(CH<sub>2</sub>)<sub>4</sub>-CO-]<sub>n</sub>）
在这一例子中，<ref>Cowie J.M.G. "Polymers: Chemistry & Physics of Modern Materials (2nd edition, Blackie 1991), p.29</ref><ref>Rudin Alfred "The Elements of Polymer Science and Engineering", Academic Press 1982, p.171</ref>
:<math>\bar{X}_n=\frac{1}{1-p}</math>

:* ''X''<sub>n</sub>是[[数均聚合度]]。
:*''p''是反应程度，定义为：
::* ''p'' = (''N''<sub>0</sub>-''N'')/''N''<sub>0</sub>,其中
::*''N''<sub>0</sub>是反应起始的基团数
::*''N''是t时刻剩余的基团数

这一方程表明，要得到高聚合度的聚合物，反应进度必须十分接近于1.例如反应程度为98%时，聚合度为50，而反应程度为99%时，聚合度增加到100.

==线性聚合物，一种单体过量==
在工业上，常会让其中一种单体过量，令另一种反应物反应充分，此时的卡罗瑟斯方程变为<ref>Allcock Harry R., Lampe Frederick W. and Mark James E. "Contemporary Polymer Chemistry" (3rd ed., Pearson 2003) p.324</ref>
:<math>\bar{X}_n=\frac{1+r}{1+r-2rp}</math>

:* ''r''是较少量单体和较多单体的基团比或物质的量比，故r < 1。加入过量反应物的结果是在同样的反应程度条件下，聚合度会降低。&nbsp;在极限情况下,反应程度p → 1，可以得出 
:<math>\bar{X}_n\to\frac{1+r}{1-r}</math>

若一种单体过量1%时，最大的聚合度为99。故可以通过控制某种单体过量的量来控制最终的聚合度。

==多官能团单体的体型缩聚==
对于含有N<sub>0</sub>个起始分子的体系来说，体系的起始官能团数是N<sub>0</sub>f<sub>av</sub>.其中的f<sub>av</sub>被称为平均官能度，定义为 
: <math>f_{av} = \frac{\sum N_i \sdot f_i}{\sum N_i}</math>
此时的卡罗瑟斯方程变为<ref>{{cite journal
  | last = Carothers
  | first = Wallace
  | title = Polymers and polyfunctionality
  | journal =Transaction of the Faraday Society 
  | issue = 
  | pages = 39–49
  | publisher = 
  | location = 
  | year = 1936
  | url = 
  | issn = 
  | doi = 10.1039/TF9363200039
  | id = 
  | accessdate =
  | volume = 32 }}</ref><ref>Cowie p.40</ref><ref>Rudin p.170</ref>
: <math>x_{n} = \frac{2}{2-pf_{av}}</math>, where p equals to  <math>\frac{2(N_0-N)}{N_0 \sdot f_{av}}</math>
卡罗瑟斯认为[[凝胶点]]时聚合度可以视为无穷大，从而到处凝胶点时的反应程度为: <math>\frac{2}{f_{av}}</math>。

==相关的表达式==
以下的几个表达式和卡罗瑟斯方程有关（线性聚合物，等物质量单体前提）
:<math>
\begin{matrix}
\bar{X}_w & = & \frac{1+p}{1-p} \\
\bar{M}_n & = & M_o\frac{1}{1-p} \\
\bar{M}_w & = & M_o\frac{1+p}{1-p}\\
PDI & = & \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}=1+p\\
\end{matrix}
</math>
where:
:*''X''<sub>w</sub> 是重均聚合物。
:*''M''<sub>n</sub> 是数均分子量。
:*''M''<sub>w</sub> 是重均分子量。
:*''M''<sub>o</sub> 是重复单元的分子量
:*''PDI''是分子量分布宽度指数。

最后一个方程说明，在反应程度趋向于1时，分子量分布宽度指数趋近于2.
== 参考资料 ==
{{reflist}}

[[Category:聚合物化学]]