查看“︁卡漢常數”︁的源代码

{{Infobox number
| name=卡漢常數
| nav=no
| is integer = no
| number=<math>C</math>
| value=<math>C\approx</math>0.643410546...
| symbol=<math>C</math>
| type=[[無理數]]<br/>[[超越數]]
| OEIS=A118227
| 連分數=[0;1,1,1,4,9,196,16641,...]
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|0.64341054628833802618225430775756|precision=24}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|0.643410546288338026182254|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|0.64341054628833802618225430775756|precision=24}}|4|…}}}}
| series = <math>C = \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{s_i-1}</math>
}}
'''卡漢常數'''（{{lang-en|Cahen's constant}}）是一個用正負號交替的[[無窮級數]]定義的常數，级数的各項是[[單位分數]]，分母為[[西爾維斯特數列]]的各項減1：
:<math>C = \sum\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629.</math>
若二項二項的考慮上述級數，可以將卡漢常數視為由[[西爾維斯特數列]]偶數項為分母的正[[單位分數]]形成的級數，卡漢常數的數列為其[[古埃及分數]]的[[貪心法]]分解：
:<math>C = \sum\frac{1}{s_{2i}}=\frac12+\frac17+\frac1{1807}+\frac1{10650056950807}+\cdots</math>
此常數是由尤金·卡漢（Eugène Cahen）定義，也稱為卡漢-梅林積分（Cahen-Mellin integral），他最早觀察到此一級數{{harv|Cahen|1891}}。

==連分數展開==
卡漢常數已知是[[超越數]]，其著名之處是它是自然出現的超越數中，少數可以求得完整[[连分数]]展開的數，若定義以下數列
:1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... {{OEIS|id=A006279}}
定義方式是由以下的[[遞迴關係式]]
:<math>q_{n+2} = q_n^2 q_{n+1} + q_n</math>
則卡漢常數的连分数展開可以表示如下：
:<math>[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\ldots]</math>

Davison和Jeffrey Shallit曾用上述的連分數展開證明卡漢常數是超越數。
{{harv|Davison|Shallit|1991}}.

== 參考資料 ==
*{{citation
  | last = Cahen | first = Eugène
  | title = Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues
  | journal = Nouvelles Annales de Mathématiques
  | volume = 10
  | year = 1891
  | pages = 508–514}}
*{{citation
  | last1 = Davison | first1 = J. Les | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey O.
  | title = Continued fractions for some alternating series
  | journal = Monatshefte für Mathematik
  | volume = 111
  | year = 1991
  | pages = 119–126
  | doi = 10.1007/BF01332350
  | issue = 2}}

== 外部連結 ==
*{{mathworld | title = Cahen's Constant | urlname = CahensConstant}}
*{{citation |title=The Cahen constant to 4000 digits |url=http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/cahen.txt |work=Plouffe's Inverter |publisher=Université du Québec à Montréal |accessdate=2011-03-19 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110317202111/http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/cahen.txt |archivedate=2011-03-17 }}

{{無理數導航}}

[[Category:數學常數]]
[[Category:实数超越数]]