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{{NoteTA|G1=物理学}}
{{標準模型}}
{{味量子數}}
'''卡比博-小林-益川矩阵'''（{{lang|en|Cabibbo-Kobayashi-Maskawa}}，CKM或KM {{lang|en|matrix}}）是[[粒子物理]][[标准模型]]的一个重要组成成份，它表征了顶类型和底类型[[夸克]]间通过[[W粒子]][[弱相互作用]]的耦合强度。对二代夸克情形，它是由[[意大利]]物理学家[[卡比博]]在1963年首先给出的，通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年[[日本]]物理学家[[小林誠 (物理學家)|小林诚]]和[[益川敏英]]把它推广到三代夸克。三代矩阵含有[[相位]]，可以用来解释弱相互作用中的[[CP破坏|电荷宇称对称性破缺]]（CP破坏），也被经常用来解释[[宇宙重子数不对称]]。CKM矩阵在[[轻子]]中的对应是[[龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣|牧-中川-坂田矩阵]]（{{lang|en|Maki-Nakagawa-Sakata}}或MNS）。

==内容==
===历史===
早期的粒子物理模型包涵三种夸克—[[上夸克]]、[[下夸克]]和[[奇夸克|奇异夸克]]。在研究[[强子]]的[[弱衰变]]中，人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象，卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克（这两种夸克有相同的[[量子数]]）之间的混合角''θ''<sub>c</sub><ref name=Cabibbo1963>{{cite journal | author = N. Cabibbo | year = 1963 | title = Unitary Symmetry and Leptonic Decays | journal = Physical Review Letters | volume = 10 | pages = 531-533}}</ref>。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的[[余弦]]（cos''θ''<sub>c</sub>）和[[正弦]]（sin''θ''<sub>c</sub>）。实验上sin''θ''<sub>c</sub>约为0.23。

1973年，在一篇发表在日本期刊《[[理论物理学进展]]》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中，小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克<ref name=KobayashiMaskawa1973>{{cite journal | author = M. Kobayashi and T. Maskawa | year = 1973 | title = CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction | journal = Progress in Theoretical Physics | volume = 49 | pages = 652-657}}</ref>。他们发现虽然一般的三维[[幺正矩阵]]有九个实参数，但是只有四个具有物理意义，而其它的都可以被吸收到夸克[[波函数]]的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子，它提供了CP破坏的微观机制，同時猜测了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与[[南部阳一郎]]分享了2008年[[诺贝尔物理学奖]]<ref name=NP08>{{cite web | title = The Nobel Prize in Physics 2008 | publisher = Nobel Foundation | url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2008/index.html | accessdate = 2008-10-09 | archive-date = 2008-10-08 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081008214840/http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2008/index.html | dead-url = no }}</ref><ref name=ymytm>{{cite web | author = 闫同民 | year = 2013 | title = 与2008年诺贝尔物理奖失之交臂的物理学家 | journal = 物理双月刊 | volume = 35 | pages = 354-357 | url = http://psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/download.php?d=1&cpid=198&did=22 | accessdate = 2013-10-02 | archive-date = 2013-10-04 | archive-url = https://web.archive.org/web/20131004213905/http://psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/download.php?d=1&cpid=198&did=22 | dead-url = no }}</ref>。

如今，寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

===参数化表示===
CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。
小林诚和益川敏英当初给的表示是<ref name=KobayashiMaskawa1973>{{cite journal | author = M. Kobayashi and T. Maskawa | year = 1973 | title = CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction | journal = Progress in Theoretical Physics | volume = 49 | pages = 652-657}}</ref>:
:<math>\begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \cos\theta_3 & -\sin\theta_1 \sin\theta_3 \\
 \sin\theta_1 \cos\theta_2 & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos\theta_3 - \sin\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} &  \cos\theta_1 \cos\theta_2 \sin\theta_3 + \sin\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta}\\
 \sin\theta_1 \sin\theta_2 & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 + \cos\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} &  \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 - \cos\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix} </math>

在标准参数化下，它可以由三个混合角（''θ''<sub>12</sub>，''θ''<sub>13</sub>，''θ''<sub>23</sub>）和一个相位（''δ''）表示为<ref>
{{cite journal
 |author=L.L. Chau and W.-Y. Keung
 |year=1984
 |title=Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix
 |journal=[[Physical Review Letters]]
 |volume=53 |pages=1802
 }}</ref> 

::<math>\begin{bmatrix}  V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\
V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}}  \\
 -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
 s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}. </math>

其中（''u''，''c''，''t''）和（''d''，''s''，''b''）分别代表三代顶类型（上、粲、顶）和底类型（下、奇异、底）夸克，''c''<sub>12</sub>，''s''<sub>12</sub>等是cos''θ''<sub>12</sub>，sin''θ''<sub>12</sub>等的简写。
目前实验给出的数据：
:θ<sub>12</sub> = {{val|13.04|0.05}}°
:θ<sub>13</sub> = {{val|0.201|0.011}}°
:θ<sub>23</sub> = {{val|2.38|0.06}}°
:δ<sub>13</sub> = {{val|1.20|0.08}}
实验上CKM矩阵参数满足''s''<sub>13</sub><<''s''<sub>23</sub><<''s''<sub>12</sub><<1。
描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由[[美国]]物理学家[[林肯·沃芬斯坦]]给出的。记

::<math>s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad
s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,</math>

::<math>
s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}}
{(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},
</math>

截止到''λ''<sup>3</sup>，CKM矩阵为<ref name=Wolfenstein1983>{{cite journal | author = L. Wolfenstein | year = 1983 | title = Parameterization of the Kobayashi-Maskawa Matrix | journal = Physical Review Letters | volume = 51 | pages = 1945-1947}}</ref>

::<math>\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
 -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
 A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1  \end{bmatrix}. </math>

===么正三角形===
[[File:unitarytriangle.jpg|450px|right|幺正三角形]]

CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系

::<math>
V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0
</math>

用测量最精确的项（''V''<sub>cd</sub>''V''<sup>*</sup><sub>cb</sub>）来归一，此关系可以表示为[[复平面]]上的[[三角形]]，其三[[頂點 (幾何)|顶点]]坐标分别为（0，0），（1，0）
和（<math>\bar\rho</math>，<math>\bar\eta</math>），如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关，是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格（{{lang|en|Jarlskog}}）不变量。

===数学推导===
CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式''V''=''V''<sub>2</sub>''V''<sub>1</sub>''V''<sub>3</sub>，其中对角块矩阵''V''<sub>1</sub>，''V''<sub>2</sub>，''V''<sub>3</sub>有以下形式（''X''代表非零元）

:::<math>V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\
 X & X & 0 \\
 0 & 0 & X  \end{bmatrix},\quad
V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\
 0 & X & X \\ 
 0 & X & X  \end{bmatrix}
</math>

其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为（''ε''，''η''，''ρ''为幺模复数，''c''=cos''θ''，''s''=sin''θ''）

::<math>U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\
 -\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix}
</math>

由此

::<math>
\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix} 
= 
\begin{bmatrix} c & s \\
 -s & c \end{bmatrix}
</math>

因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换

::<math>
V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'
</math>

使得

::<math>
V_2'=\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
 0 & c_2 & -s_2 \\
 0 & s_2 & c_2  \end{bmatrix},\quad
V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
 0 & c_3 & s_3 \\ 
 0 & -s_3 & c_3  \end{bmatrix}
</math>

在上式中''V''<sub>2</sub>'仍是与''V''<sub>2</sub>同形的一般幺正矩阵，
但可以继续在''V''上左、右相乘与''V''<sub>2</sub>'和''V''<sub>3</sub>'对易的对角矩阵，即
diag（''α''，''β''，''β''）型矩阵（''α''，''β''幺模），使得

::<math>
V_1'=\begin{bmatrix} 
c_1 & s_1 & 0 \\
 -s_1 & c_1 & 0 \\
 0 & 0 & e^{i\delta}  \end{bmatrix}
</math>

最后将所有的对角（相位）变换矩阵吸收到夸克波函数中去，''V''<sub>2</sub>'，''V''<sub>1</sub>'，''V''<sub>3</sub>'相乘即得CKM矩阵。

==参数测量==
CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料，可参阅[[粒子数据组]]的网页和出版物<ref name="PDG2010">{{cite journal
 |author=K. Nakamura ''et al.''
 |year=2010
 |title=Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix
 |url=http://pdg.lbl.gov/2010/reviews/rpp2010-rev-ckm-matrix.pdf
 |journal=[[Journal of Physics G]]
 |volume=37
 |issue=75021
 |page=150
 |doi=
 |access-date=2012-11-05
 |archive-date=2018-07-14
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180714055423/http://pdg.lbl.gov/2010/reviews/rpp2010-rev-ckm-matrix.pdf
 |dead-url=no
 }}</ref>
:<math>
V_{CKM}= \begin{bmatrix}
0.97427 \pm 0.00015 & 0.22534 \pm 0.00065 & 0.00351^{+0.00015}_{-0.00014} \\
0.22520 \pm 0.00065 & 0.97344 \pm 0.00016 & 0.0412^{+0.0011}_{-0.0005} \\
0.00867^{+0.00029}_{-0.00031} & 0.0404^{+0.0011}_{-0.0005} & 0.999146^{+0.000021}_{-0.000046}
\end{bmatrix}.
</math>
沃尔芬斯坦参数：<math>\lambda = 0.22535 \pm 0.00065,A=0.817 \pm 0.015,\bar{\rho}=0.136 \pm 0.018,\bar{\eta}=0.348 \pm 0.014</math>
:和雅尔斯廓格不变量：<math>J=(2.96_{-0.16}^{+0.20}) \times 10^{-5}</math>

== 獨立變量的計算 ==
考慮有 ''N'' 代夸克 (2''N'' 種風味)，那麼
* 一個 ''N''&nbsp;×&nbsp;''N'' 的么正矩陣需要 ''N''<sup>2</sup> 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 ''VV''<sup>†</sup>&nbsp;=&nbsp;''I''，其中 ''V''<sup>†</sup> 是 ''V'' 的共軛轉置，而 ''I'' 是單位矩陣) 。
* 其中 2''N''&nbsp;−&nbsp;1 個係數不是物理上實際的，因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個)，而全部的共同相位是不可觀測的。因此，不受相位選擇影響的自由變數總共有 ''N''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;(2''N''&nbsp;−&nbsp;1) = (''N''&nbsp;−&nbsp;1)<sup>2</sup> 個。
** 這其中有 ''N''(''N''&nbsp;−&nbsp;1)/2 個是旋轉角度，稱為夸克的混合角。
** 而剩下的 (''N''&nbsp;−&nbsp;1)(''N''&nbsp;−&nbsp;2)/2 個就是造成 [[CP破壞]]的複數相位。

當 ''N''&nbsp;=&nbsp;2 時，獨立變量只有一個，就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為'''卡比博角度'''，由[[尼古拉·卡比博]]發明。

在標準模型中，''N''&nbsp;=&nbsp;3，總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。

==与重子生成的关系==
[[CP破坏]]是解釋自[[宇宙大爆炸]]以來僅物質存在(即[[反物質]]消失)的[[沙卡洛夫]]三条件（热力学非平衡，重子数不守恒，C和CP对称性不守恒）之一，因此CKM矩阵在[[粒子宇宙学]]中有着重要应用。但是现在公认的结论是實驗測量到CP破壞的數量級，遠不足以解释观测到的重子不对称度，因此重子生成必须有其他的来源。

==参考资料==
===书籍===
*{{cite book |author= 郑大培，李靈峰 | title = Gauge Theory of Elementary Particle Physics | trans_title = 基本粒子物理的规范理论 | publisher = 牛津大学出版社 | year = 1989 | isbn = 0-19-851956-7}}
*{{cite book | author = H. Georgi | title = Weak Interactions and Modern Particle Physics | url = https://archive.org/details/weakinteractions0000geor | trans_title = 弱相互作用和现代粒子物理学 | publisher = Addison-Wesley | year = 1984 | isbn = 0-8053-3163-8}}

===论文===
{{reflist}}

==外部链接==
*[http://pdg.lbl.gov/index.html 粒子物理数据组]{{Wayback|url=http://pdg.lbl.gov/index.html |date=20171222213656 }}首頁
*[[康奈尔大学]]的[http://www.lepp.cornell.edu/Research/EPP/CLEO/ CLEO]{{Wayback|url=http://www.lepp.cornell.edu/Research/EPP/CLEO/ |date=20080513063252 }}实验
*[[高能加速器研究機構]] ([http://www.kek.jp KEK]{{Wayback|url=http://www.kek.jp/ |date=20060407000223 }}) 的 [http://belle.kek.jp BELLE]{{Wayback|url=http://belle.kek.jp/ |date=20190924140556 }} 實驗
*[[SLAC国家加速器实验室]] ([http://www-public.slac.stanford.edu SLAC]{{Wayback|url=http://www-public.slac.stanford.edu/ |date=20081026110400 }}) 的 [http://www-public.slac.stanford.edu/babar/ BaBar]{{Wayback|url=http://www-public.slac.stanford.edu/babar/ |date=20120204054124 }} 實驗
*[[费米国家加速器实验室]]（[http://www.fnal.gov FNAL]{{Wayback|url=http://www.fnal.gov/ |date=20110312210233 }}）的[http://www-d0.fnal.gov/Run2Physics/WWW/results/b.htm D0]{{Wayback|url=http://www-d0.fnal.gov/Run2Physics/WWW/results/b.htm |date=20080916031213 }}和[http://www-cdf.fnal.gov/physics/new/bottom/bottom.html CDF]{{Wayback|url=http://www-cdf.fnal.gov/physics/new/bottom/bottom.html |date=20080916124502 }}实验
*[[欧洲核子研究中心]]（[http://www.cern.ch CERN]{{Wayback|url=http://www.cern.ch/ |date=20070726091712 }}）的[http://lhcb.web.cern.ch/lhcb/ LHCb]{{Wayback|url=http://lhcb.web.cern.ch/lhcb/ |date=20130414115154 }} 实验

{{DEFAULTSORT:Cabibbo-Kobayashi-Maskawa}}

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[[Category:量子场论]]
[[Category:宇宙学]]
[[Category:电弱理论]]