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'''卡塔蘭猜想'''也稱為'''米哈伊列斯庫定理'''，是[[比利時]][[數學家]][[歐仁·查理·卡塔蘭]]在1844年提出的[[數論]]猜想，已在2002年4月由[[帕德博恩大學]]的[[羅馬尼亞]]數學家{{le|普雷達·米哈伊列斯庫|Preda Mihăilescu}}證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了[[分圓域]]和{{le|伽羅華模|Galois module}}。

此定理斷言除了<math>8=2^3</math>，<math>9=3^2</math>，沒有兩個連續整數都是[[正整數]]的[[幂]]（即[[次方數]]）；以數學方式表述為：不定方程<math>x^a-y^b=1</math>的大於1的正整數<math>x,y,a,b</math>只有唯一解<math>x=3,y=2,a=2,b=3</math>。

== 歷史 ==
在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。
*1320年左右，{{le|萊維·本·熱爾松|Levi ben Gerson}}（1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
*[[莱昂哈德·歐拉]]證明，''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>3</sup> = 1-{只}-有一解：''x'' = 3,''y'' = 2。
*[[勒貝格]]證明了方程''x<sup>a</sup>'' - ''y''<sup>2</sup> = 1，''a'' > 1 沒有正整數解。
*1965年[[柯召]]證明方程''x<sup>2</sup>'' - ''y''<sup>b</sup> = 1，''b'' > 1 只有一個解。
於是卡塔蘭猜想只餘下<math>a,b</math>為奇[[素数]]的情況。
*1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特（{{lang|en|Maurice Mignotte}}）也對這猜想作出貢獻。
*皮萊猜想（Pillai's conjecture）：把卡塔蘭猜想一般化，推測正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。若[[abc猜想]]成立，則皮萊猜想也成立。

==參見==
*[[費馬-卡塔蘭猜想]]
*{{link-en|布羅卡問題|Brocard's problem}}

==參閱==
* {{MathWorld | urlname=CatalansConjecture | title=Catalan's conjecture}}
* [http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html Ivars Peterson's MathTrek]{{Wayback|url=http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html |date=20130122060110 }}
* Jeanine Daems: [https://web.archive.org/web/20060221125555/http://www.math.leidenuniv.nl/~jdaems/scriptie/Catalan.pdf A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture]

{{Authority control}}
[[Category:猜想]]
[[Category:已证明猜想]]
[[Category:丟番圖方程]]
[[Category:数论定理]]