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'''卡倫數'''是形式如<math>n \times 2^n+1</math>（寫作<math>C_n</math>）的[[自然數]]。

若[[質數]]<math>p=8k-3=2n-1</math>，<math>C_n</math>能被<math>p</math>整除。根據[[費馬小定理]]，若p是[[奇數|奇]]質數，<math>p</math>能整除<math>C_{m(k)}</math>對於<math>m(k)=(2^k-k)(p-1) - k</math> (對於<math>k>0</math>)。

'''廣義卡倫數'''有時定義為<math>n \times b^n + 1</math>而且<math>n + 2 > b</math>。[[胡道爾數]]有時稱為第二種卡倫數。

==歷史和卡倫質數==
1905年，[[詹姆士·卡倫 (數學家)|詹姆士·卡倫]]首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核實<math>C_{141}</math>是質數，且證明了若<math>n \le 1000</math>，除了<math>C_1</math>和<math>C_{141}</math>之外，<math>C_n</math>均為[[合成數]]。

1984年Wilfrid Cellar又類似地核實了<math>C_{4713}, C_{5795}, C_{6611}, C_{18496}</math> 和以上提到的卡倫質數之外，<math>n \le 30000</math>的<math>C_n</math>均為合成數。

截止2009年4月，已知的卡倫質數有[[141]], 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 ([[OEIS:A005849]])，n=1354000以下的卡倫質數已被找到。可是，「存在無限個卡倫質數」這問題仍屬猜想。

是否存在質數<math>p</math>使得<math>C_p</math>為質數同樣為疑問。

== 參考 ==
* Cullen, James (1905).  Question 15897.  ''Educ. Times'' (December 1905), 534.

[[Category:整数数列|K]]
[[Category:数学中未解决的问题]]