查看“︁卜瓦松分布”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|T= zh-cn:泊松分布; zh-tw: 卜瓦松分布; zh-hk:泊松分佈;
|2 = zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩;
|3 = zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數;
}}

{{機率分佈
  | name = 泊松分布
  | type = 質量
  | pdf_image = [[File:poisson pmf.svg|325px|Plot of the Poisson PMF]]<br />横轴是索引''k''，发生次数。该函数只定义在''k''为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。
  | cdf_image = [[File:poisson cdf.svg|325px|Plot of the Poisson CDF]]<br />横轴是索引''k''，发生次数。CDF在整数''k''处不连续，且在其他任何地方都是水平的，因为服从泊松分布的变量只针对整数值。
  | parameters = ''λ'' > 0（[[实数]]）
  | support = <math>k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\}</math>
  | pdf = <math>\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}</math>
  | cdf = <math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}</math>，或<math>e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\ </math>，或<math>Q(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)</math>
(对于<math>k\ge 0</math>，其中<math>\Gamma(x, y)</math>是[[不完全Γ函数]]，<math>\lfloor k\rfloor</math>是[[高斯符号]]，Q是规则化Γ函数)
  | mean = <math>\lambda</math>
  | median = <math>\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>
  | mode = <math>\lceil\lambda\rceil - 1, \lfloor\lambda\rfloor</math>
  | variance = <math>\lambda</math>
  | skewness = <math>\lambda^{-1/2}</math>
  | kurtosis = <math>\lambda^{-1}</math>
  | entropy = <math>\lambda[1 - \log(\lambda)] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}</math>
（假设<math>\lambda</math>较大）
<math>\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -</math><br><math>\qquad \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)</math><!--formula split with \qquad indent-->
  | pgf = <math>\exp(\lambda(z - 1))</math>
  | mgf = <math>\exp(\lambda (e^{t} - 1))</math>
  | char = <math>\exp(\lambda (e^{it} - 1))</math>
}}

'''泊松分布'''（{{Lang-fr|loi de Poisson}}；{{Lang-en|Poisson distribution}}）又稱'''Poisson分布'''、'''-{zh-cn:帕松; zh-tw:泊松; zh-hk:帕松;}-分布'''、'''布瓦松分布'''、'''布阿松分布'''、'''普阿松分布'''、'''波以松分布'''、'''卜氏分布'''、'''帕松小數法則'''（Poisson law of small numbers），是一種[[統計]]與[[概率]]學裡常見到的[[机率分布|離散機率分布]]，由[[法國]]數學家[[西莫恩·丹尼·泊松|西莫恩·德尼·泊松]]在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，[[电话交换机]]接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、[[自然灾害]]发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、[[雷射]]的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率<math>f</math>）。

泊松分布的[[概率质量函数|機率質量函数]]为：
: <math>P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}</math>

泊松分布的参数<math>\lambda</math>是随机事件发生次数的数学期望值。

== 记号 ==
若<math>X</math>服从参数为<math>\lambda</math>的泊松分布，记为<math>X \sim \pi(\lambda)</math>，或记为<math>X \sim \text{Poisson}(\lambda)</math>.

== 假设 ==
如果以下假设成立，则适用泊松分布：

1、k 是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。

2、一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。

3、事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。

4、两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则 k 是泊松随机变量；k 的分布是泊松分布。

== 性质 ==
1、服从泊松分布的[[随机变量]]，其[[期望值|数学期望]]与[[方差]]相等，同为参数<math>\lambda</math> : <math> E(X) = V(X)= \lambda</math>

2、兩個獨立且服从泊松分布的[[随机变量]]，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 <math>X \sim  \text{Poisson}(\lambda_1)</math>且 <math>Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)</math>，則<math>X+Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)</math>。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（{{le|Raikov定理|Raikov's theorem}}）。

3、其[[動差母函數]]为：
:<math>M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{({e^t}\lambda)^x}{x!}=e^{{\lambda}(e^t-1)}</math>
:

== 推導 ==
期望值：(倒數第三至第二是使用[[泰勒级数|泰勒展開式]])

<math>\begin{align}
\Epsilon(X) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i P(X = i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!} \\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!} \\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=0}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over i!} \\
& = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\
& = \lambda
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
\Epsilon(X^2) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i^2 P(X = i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i^2 {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!}\\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {i \lambda^{i-1} \over (i-1)!}\\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {1 \over (i-1)!} {d \over d \lambda}(\lambda ^ i)\\
& = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over (i-1)!}\right]\\
& = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\lambda \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\
& = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda} (\lambda e^{\lambda}) = \lambda e^ {- \lambda} (e^ {\lambda} + \lambda e ^{\lambda}) = \lambda + \lambda^2
\end{align}</math>

我們可以得到：<math>Var(X) = (\lambda + \lambda ^2) - \lambda ^2 = \lambda</math>

如同性質：<math>E(X) = Var(X) = \lambda</math>、<math>\sigma_X = \sqrt{\lambda}</math>{{-}}

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

<math>X\sim \text{Poisson}(\lambda_1), Y\sim \text{Poisson}(\lambda_2).</math>

<math>P(X=k_1)=\dfrac{\lambda_1^{k_1}e^{-\lambda_1}}{k_1!}, P(Y=k_2)=\dfrac{\lambda_2^{k_2}e^{-\lambda_2}}{k_2!}.</math>

<math>\begin{align}
P(X+Y=k) & = \sum_{i=0}^k P(X=i)P(Y=k-i) \\
& = \sum_{i=0}^k \frac{\lambda_1^i \lambda_2^{k-i}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{i! (k-i)!}\\
& = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{i=0}^k C_k^i \lambda_1^i \lambda_2^{k-i}\\
& = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}
\end{align}</math>

<math>X+Y\sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)</math>


== 泊松分布的来源（泊松小数定律） ==

在[[二项分布]]的[[伯努利试验]]中，如果试验次数<math>n</math>很大，二项分布的概率<math>p</math>很小，且乘积<math>\lambda= np</math>比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數<math>e</math>的定义：
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},</math>

二项分布的定义：
:<math>P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}</math>。

如果令<math>p = \frac{\lambda}{n}</math>， <math>n</math>趋于无穷时<math>P</math>的极限：

:<math>
\begin{align}

\lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\
 &=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\
&=\lim_{n\to\infty}
\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\
&= \lim_{n\to\infty}
\underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)  \right]}_{\to 1}
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1}      \\
&= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)
\end{align}
</math>

== 最大似然估計（MLE） ==

给定<math>n</math>个样本值<math>k_i</math>，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数''<math>\lambda</math>''的估计。为计算[[最大似然估计]]值，列出对数似然函数：
:<math>
\begin{align}
L(\lambda) & = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\
& = \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\
& = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \end{align}
</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0
\iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!</math>

解得''λ''从而得到一个[[驻点]]（stationary point）：
:<math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!</math>

检查函数<math>L</math>的二阶导数，发现对所有的''<math>\lambda</math>''与<math>k_i</math>大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数''<math>L</math>''的极大值点：
:<math>\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} =  \sum_{i=1}^n -\lambda^{-2} k_i </math>

== 例子 ==
对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到<math>\lambda</math>的估计为<math>\frac{81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}\approx 0.87</math>。

==生成泊松分布的随机变量==
一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由[[高德纳]]给出（见下文参考）：

 '''algorithm''' ''poisson random number (Knuth)'':
     '''init''':
          '''Let''' L ← ''e''<sup>−λ</sup>, k ← 0 and p ← 1.
     '''do''':
          k ← k + 1.
          Generate uniform random number u in [0,1] and '''let''' p ← p×u.
     '''while''' p > L.
     '''return''' k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值<math>k</math>，平均是''<math>\lambda</math>''。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的''<math>\lambda</math>''值，<math>e^{-\lambda}</math>可能导致数值稳定性问题。对于较大''<math>\lambda</math>''值的一种解决方案是[[拒绝采样]]，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的''<math>\lambda</math>''值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过<math>u</math>的样本，才需要检查累积概率。

 '''algorithm''' ''Poisson generator based upon the inversion by sequential search'':<ref>Luc Devroye, ''Non-Uniform Random Variate Generation''（Springer-Verlag, New York, 1986）, chapter 10, page 505 http://luc.devroye.org/rnbookindex.html {{Wayback|url=http://luc.devroye.org/rnbookindex.html |date=20120717112308 }}</ref>
     '''init''':
          '''Let''' x ← 0, p ← ''e''<sup>−λ</sup>, s ← p.
          Generate uniform random number u in [0,1].
     '''do''':
          x ← x + 1.
          p ← p * λ / x.
          s ← s + p.
     '''while''' u > s.
     '''return''' x.

== 参见 ==
* [[泊松过程]]
* [[概率论]]
* [[泊松回归]]
*[[概率分布]]

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 ===
{{ReflistH}}
* {{cite journal
 | author = Guerriero V.
 | title = Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics
 | journal = Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF)
 | year=2012
 | volume=1
 | pages=21–28
 | url = http://www.seipub.org/sjmmf/MostDownloaded.aspx
 | access-date=2017-10-30
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180221211902/http://www.seipub.org/sjmmf/MostDownloaded.aspx
 | archive-date=2018-02-21
 | dead-url=yes
 }}
* {{cite journal
 | author=Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter
 | title=Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions
 | journal=Computing
 | year=1974
 | volume=12
 | issue=3
 | pages=223–246
 | doi=10.1007/BF02293108
}}
* {{cite journal
 | author=Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter
 | title=Computer Generation of Poisson Deviates
 | url=https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-mathematical-software_1982-06_8_2/page/163
 | journal=ACM Transactions on Mathematical Software
 | year=1982
 | volume=8
 | issue=2
 | pages=163–179
 | doi=10.1145/355993.355997
}}
* {{cite journal
 | authors = Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers
 | title = The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6
 | journal=SIAM Review
 | year=1988
 | volume=30
 | issue=2
 | pages=314–317
 | doi=10.1137/1030059
}}
* {{cite book
 | author = Donald E. Knuth
 | title = Seminumerical Algorithms
 | publisher = [[Addison Wesley]]
 | series = The Art of Computer Programming
 | volume = Volume 2
 | year = 1969
}}
{{ReflistF}}

{{-}}
{{常见一元概率分布}}
{{概率分布类型列表}}

[[Category:离散分布]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:带有伪代码示例的条目]]