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{{NoteTA |G1=Math}}
'''博雷尔集'''，又稱'''Borel集'''，是群特殊的子集合，這群子集合的整體是任何內涵某指定的[[拓扑空间]]的所有[[开集]]中最小的[[Σ-代数]]。所以博雷尔集的全体又称为'''博雷尔代数'''或者'''博雷尔&sigma;-代数'''。博雷尔集是由[[埃米尔·博雷尔]]的名字命名的。

博雷尔集在[[测度论]]中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为[[博雷尔测度]]。博雷尔集和相关的[[博雷尔分层]]在[[描述集合论]]中也起着基础性的作用。

某些情況下，博雷尔集定义是由拓扑空间中的[[紧集|緊緻集合]]所構造出來的而不是前面講的開集合。两个定义在很多[[良态|良好]]的空间中是等价的，包括所有 [[σ-紧空间|σ-紧的]][[豪斯多夫空间]]，但是在具有[[病态性质 (数学)|病态性质]]的空间中两者可能不同。

== 正式定義 ==
{{math_theorem
|name=定義
|math_statement=
<math>(X,\,\tau)</math> 是一個[[拓扑空间]]，則拓撲 <math>\tau</math> 的 [[Σ-代数#最小σ-代数|最小σ代数]] <math>\sigma(\tau) </math> 被稱為 <math>X</math> 的'''博雷尔代数'''（Borel algebra），任意 <math>A \in \sigma(\tau) </math> 則被稱為'''博雷尔集'''（Borel set）。
}}
== 博雷尔代数的生成 ==
当 X 是一个[[度量空间]]时，博雷尔代数可以用如下構造方法來描述。

T 是 X 的子集合的集合族（即 X 的[[幂集]] P(X) 的任何子集），令
* T<sub>&sigma;</sub> 为T中元素的所有可数聯集
* T<sub>&delta;</sub> 为T中元素的所有可数交集
* T<sub>&delta;&sigma;</sub>=(T<sub>&delta;</sub>)<sub>&sigma;</sub>.

现在利用[[超限归纳法]]定义如下的序列G<sup>m</sup>，其中m是一个[[序数]]：
* 对于初始的情况，定义

G<sup>0</sup> = X 的所有开子集。

* 如果i不是[[极限序数]]，那么i是i-1的后继序数。令

G<sup>i</sup> = [G<sup>i-1</sup>]<sub>&delta;&sigma;</sub>

* 如果i是极限序数，令

<math> G^i = \bigcup_{j < i} G^j. </math>

我们现在可以说博雷尔代数是G<sup>ω<sub>1</sub></sup>，其中ω<sub>1</sub>是第一不可数序数(first uncountable ordinal number)，即[[基数_(数学)|基數]]為[[阿列夫数|{{UnicodeMath| ℵ₁}}]]的序数集。这意味着博雷尔代数可以通过开集全体的迭代运算
:<math> G \mapsto G_{\delta \sigma}. </math>
至第一不可数序而生成。

为了证明这一点，首先注意到度量空间中的任何开集都是一列递增紧集的并。特别地，易知对于任何极限序数m，集合的差运算将G<sup>m</sup>映射到自身；而且，当m是不可数的极限序数时，G<sup>m</sup>在可数并运算下是封闭的。

注意到对于每一个博雷尔集B，存在一个可数序数&alpha;<sub>''B''</sub>使得B可以通过&alpha;<sub>''B''</sub>多次迭代后得到。但是随着B取遍所有博雷尔集，&alpha;<sub>''B''</sub>也会相应地取遍所有可数序数，故而要得到所有博雷尔集所需的最靠前的序数是&omega;<sub>1</sub>，即第一不可数序数。

=== 例子 ===
一个重要的例子，尤其是对于[[概率论]]而言，是[[实数|实数集]]上的博雷尔代数。它是用来定义[[博雷尔测度]]的代数。对于[[概率空间]]上一个给定的实随机变量，其[[概率分布]]按照定义，也是一个博雷尔代数上的测度。

实直线'''R'''上的博雷尔代数是包含所有[[区间]]的最小σ-代数。

在利用超限归纳法构造时，可以证明在每一步中，集合的[[基数 (数学)|数量]]至多是[[连续统的势|连续统的幂]]。所有博雷尔集的总数不会多于<math>\aleph_1 \times 2 ^ {\aleph_0}\, = 2^{\aleph_0}\,</math>。

== 非博雷尔集 ==

下面描述了[[尼古莱·卢津|卢津]]给出的一个实数集上的子集不是博雷尔集的例子。与之形成对比的是，[[不可测集]]的例子是无法给出的，不过其存在性是可以证明的。

每一个[[无理数]]都有一个唯一的[[连分数]]表示
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>
其中<math>a_0\,</math>是一个[[整数]]，其余的<math>a_k\,</math>都是正整数。令A为对应序列<math>(a_0,a_1,\dots)\,</math>的无理数组成的集合，而且其中的元素满足下列性质：存在一个无限[[子序列]]<math>(a_{k_0},a_{k_1},\dots)\,</math>使得序列中每一个元素都是下一个元素的[[因子]]。这个集合A不是博雷尔集。事实上，这个集合是一个[[解析集]]，进一步地，在解析集全体构成的类中是完备的。更详细的内容见[[描述集合论]]和Alexander S. Kechris的著作，特别是209页的练习(27.2)、169页的定义(22.9)和14页的练习(3.4)(ii)。

== 参考文献 ==

* William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981
* Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
* [[保罗·哈尔莫斯]], Measure Theory, D.van Nostrand Co., 1950
* Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
* Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)
{{reflist}}

[[Category:拓扑学]]
[[Category:描述集合论]]

[[el:Σ-άλγεβρα#σ-άλγεβρα Borel]]