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在[[数学]]的一个分支——[[泛函分析]]中， '''博雷尔函数演算'''是一种[[函数演算]] <ref>{{Cite book|isbn=0-8218-0819-2|title=Fundamentals of the Theory of Operator Algebras: Vol 1|year=1997|publisher=Amer Mathematical Society|last=Kadison|first=Richard V.|last2=Ringrose|first2=John R.}}</ref> <ref>{{Cite book|isbn=0-12-585050-6|title=Methods of Modern Mathematical Physics|year=1981|publisher=Academic Press|first=Michael|last=Reed|first2=Barry|last2=Simon}}</ref>。例如，将平方函数 <math>s \mapsto s^2</math> 作用到算子 <math>T</math> 上会得到算子 <math>T^2</math> 。而适用于更大范围的函数的函数演算使得我们可以（作为一个例子）严格地定义（负的）[[拉普拉斯算子]] {{Math|−Δ}} 的“平方根”或指数 <math> e^{it \Delta}</math> 。

这里的「范围」是指允许的函数类型。博雷尔函数演算比[[连续函数演算]]更通用，其侧重点也不同于[[全纯函数演算]]。

更准确地说，博雷尔函数演算允许将任意[[可测函数|博雷尔函数]]作用于一个[[自伴算子]]，同时对于多项式函数有与[[多项式函数演算]]一样的行为。

== 动机 ==
设 <math> T</math> 是有限维[[内积空间]] ''<math> H</math>'' 上的自伴算子，则 ''<math> H</math>'' 具有由 ''<math> T</math>'' 的[[特征值和特征向量|本征向量]]组成的[[标准正交基|正交基]] <math> \{e_1,\dots,e_\ell\}</math> ，即
<math display="block"> T e_k = \lambda_k e_k, \qquad 1 \leq k \leq \ell.</math>

因此，对于任意正整数 ''<math> n</math>'' ，

<math display="block"> [T \psi](x) = f(x) \psi(x).</math><math display="block"> T^n e_k = \lambda_k^n e_k.</math>

如果只考虑 ''<math> T</math>'' 的多项式，则得到[[全纯函数演算]]。实际上还可以得到 ''<math> T</math>'' 的更一般的函数。给定一个[[可测函数|博雷尔函数]] <math>h</math> ，可以通过确定算子在基上的行为来定义一个算子 <math>h(T)</math> ：

<math display="block"> h(T) e_k = h(\lambda_k) e_k.</math>

一般来说，任何自伴算子 ''<math> T</math>'' 都{{Tsl|en|Self-adjoint_operator#Statement_of_the_spectral_theorem|4=酉等价}}于一个乘法算子（这是[[谱定理]]的一种表述）。也就是说，对于许多目的而言， ''<math> T</math>'' 可以被视为一个作用于某个[[测度空间]]的平方可积函数上的运算符：

<math display="block"> [T \psi](x) = f(x) \psi(x)</math>

这时有

<math display="block"> [h(T) \psi](x) = [h \circ f](x) \psi(x). </math>

对于许多技术目的来说，这种表述已经足够好了。然而，有时也会希望能有对函数演算的一种表述，其不依赖于作为乘法运算符的 ''<math> T</math>'' 的特定表示。这就是下一节要做的事情。

== 有界函数演算 ==
现在正式地定义[[希尔伯特空间]] ''<math> H</math>'' 上的自伴算子 ''<math> T</math>'' 的有界博雷尔函数演算 {{Mvar|π<sub>T</sub>}} 。设 <math>L ^ \infty(\mathbb{R},\mathbb{C})</math>是在实轴上的有界复值博雷尔函数所构成的空间， {{Mvar|π<sub>T</sub>}} 是其上的一个映射
<math display="block">\pi_{T}: L^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C}) \to\mathcal{B}(\mathcal{H}): f \mapsto f(T),</math>
满足

* 将 <math>L ^ \infty(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> 看作一个环， {{Mvar|π<sub>T</sub>}} 是其上的同态，且保对合、保单位元。
* 设有 <math> \xi\in H </math> ，博雷尔集 <math>E\subset \mathbb R</math> ，那么<math display="block"> \nu_\xi:E \mapsto \langle \pi_T(\mathbf{1}_E) \xi, \xi \rangle </math>构成一个测度。其中 <math> 1_E </math> 是 <math>E</math> 的[[指示函数]]。该测度称为是 <math> T </math> 的[[谱测度]]。
* 对于复数上的恒等映射 <math>\mathrm{id}</math> ，有<math display="block"> \pi_T\left([\mathrm{id} +i]^{-1}\right)=[T + i]^{-1}.</math>
{{math theorem|任意自伴算子都有一个唯一的博雷尔函数演算。
}}

这定义了有界函数的函数演算，而这也或可适用于无界自伴算子。使用有界函数演算，可以证明[[单参数酉群的斯通定理]]的一部分：

{{math theorem|若算子 <math>A</math> 是自伴的，那么
<math display="block"> U_t = e^{i t A}, \qquad t \in \mathbb{R} </math>
是一个以<math>iA</math>为[[生成元 (幺正算子群)]]的单参数强连续酉群。
}}

作为一个应用，我们考虑[[薛定谔方程]]，或者说量子力学系统的[[動力學|动力学]]。在[[相对论|非相对论]][[量子力学]]中，[[哈密顿算符|哈密顿算子]] <math> \hat H</math> 描述了量子力学系统的总[[能量]]。 <math> i\hat H</math> 生成的酉群对应于系统的时间演化。

我们还可以使用博雷尔函数演算来抽象地解决一些线性[[初值問題|初值问题]]，例如热方程或麦克斯韦方程组。

=== 函数演算的存在性 ===
具有上述函数演算性质的映射的存在性需要证明。对于有界自伴算子 ''<math> T</math>'' ，博雷尔函数演算的存在性可以用初等的方式叙述如下：

首先利用[[魏尔施特拉斯逼近定理]]来从多项式过渡到[[连续函数演算]]。这里的关键事实是，对于有界自伴算子 ''<math> T</math>'' 和多项式 ''<math> p</math>'' ，有
<math display="block">\| p(T) \| = \sup_{\lambda \in \sigma(T)} |p(\lambda)|.</math>


因此，映射 <math> p \mapsto p(T) </math>构成多项式环上的[[等距同构|保距映射]]和[[稠定]]的同态。借助连续性可以进一步推广，对 ''<math> T</math>'' 谱上的连续函数 <math> f </math> 定义 <math> f(T) </math> 。然后，[[里斯-马尔可夫-角谷表示定理]]允许我们从连续函数的积分过渡到谱测度，于是就得到了博雷尔函数演算。

或者，在交换巴拿赫代数的背景下，连续函数演算可以通过[[盖尔范德变换]]获得。然后同上面的一样利用里斯-马尔可夫-角谷定理来推广到可测函数。在这一表述中， <math> T </math>只需是[[正规算子]]。

给定一个算子 <math> T </math> ，连续函数演算 <math> h \to h ( T ) </math> 的值域是 ''<math> T </math>'' 生成的（阿贝尔）[[C*-代数]] <math> C(T) </math>。博雷尔函数演算的值域则更大，即 <math> C(T) </math> 在[[弱算子拓扑]]下的闭包——一个（同样是阿贝尔的）[[冯诺依曼代数]]。

== 一般函数演算 ==
我们还可以为未必有界的博雷尔函数 <math> h </math> 定义函数演算，所得结果是一个算子，而这个算子也可能不是有界的。用自伴算子谱定理所提供的乘法算子那套表述的话，它就是 <math>h\circ f</math> 的乘法算子。
{{Math theorem|设 <math>T</math> 是 <math>H</math> 上的一个自伴算子， <math>h</math> 是 <math>\mathbb R</math> 上的一个实值博雷尔函数。存在一个唯一的算子 <math>S\triangleq h(T)</math> 满足
<math display="block">
\operatorname{dom} S = \left\{\xi \in H: h \in L^2_{\nu_\xi}(\mathbb{R}) \right\}</math>
<math display="block">
\langle S \xi, \xi \rangle=\int_{\mathbb{R}}h(t)d\nu_{\xi} (t), \qquad \xi\in\operatorname{dom} S
</math>
}}


更一般地，对于（有界）正规算子也存在博雷尔函数演算。

== 单位分解 ==
设有自伴算子 ''<math> T </math>'' ， <math> E </math> 是 '''<math> \mathbb R </math>''' 的 博雷尔子集，而 <math> 1_E </math> 是 ''<math> E </math>'' 的[[指示函数]]，则 <math>  1_E(T)  </math> 是 <math>  H  </math> 上的[[投影 (线性代数)|正交投影]]。那么映射<math display="block"> \Omega: E \mapsto \mathbf{1}_E(T)</math>是一个[[投影值测度]]，其被称为 ''<math> T </math>'' 的单位分解（resolution of the identity）。 '''<math> \mathbb R </math>'''  上的测度[[拉东-尼科迪姆定理|相对于]] <math>  \Omega  </math>是 <math>  H  </math> 上的恒等算子。换句话说，恒等算子可以表示为谱积分 <math display="inline">I = \int 1\,d\Omega</math> 。有时，术语「单位分解」也用于上式这样的将恒等算子描述为谱积分的过程。

在离散测度的情况下（特别是当 <math>  H  </math> 维度有限时）， <math display="inline">I = \int 1\,d\Omega</math> 可以用[[狄拉克符号|狄拉克记号]]写成<math display="block">I = \sum_{i} \left | i \right \rangle \left \langle i \right |</math>各 <math>|i\rangle</math> 是 ''<math> T </math>'' 的归一化本征向量。集合 <math> \{ |i\rangle \}</math> 构成 ''<math>  H  </math>'' 的一组标准正交基。

物理文献通常是启发式地把上面的式子延伸到谱测度不再离散的情况，将单位分解写成<math display="block">I = \int\!\!  di~ |i\rangle \langle i|</math>并讨论所谓「连续基」或「基态矢的连续统」 <math> \{ |i\rangle \}</math> 。 从数学上讲，除非给出严格的论证，否则这种表达式纯粹是一种形式记号。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

{{泛函分析}}
[[Category:泛函分析]]
[[Category:函数演算]]