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{{no footnotes|time=2017-02-18T06:29:53+00:00}}
在[[数学]]中，以[[萨洛蒙·博赫纳]]命名的'''博赫纳积分'''（{{lang-en|Bochner integral}}）作为[[简单函数]]积分的极限，将[[勒贝格积分]]的定义推广到在[[巴拿赫空间]]中取值的函数。

== 定义 ==
令(''X'',&nbsp;Σ,&nbsp;μ)为[[测度|测度空间]]，''B''为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先，简单函数是任意如下形式的有限和
: <math>s(x) = \sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i</math>
其中''E''是<sub>''i''</sub>σ-代数Σ的不相交元素，''b''<sub>''i''</sub>是''B''的不同元素，而χ<sub>E</sub>是''E''的[[指示函数]]。如果''μ''(''E''<sub>''i''</sub>)每当''b''<sub>''i''</sub>&nbsp;≠ 0时有限，则简单函数是'''可积'''的，积分如下定义
: <math>\int_X \left[\sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i\right]\, d\mu = \sum_{i=1}^n \mu(E_i) b_i</math>
与普通勒贝格积分完全相同。

可测量函数ƒ:''X''→''B''是'''博赫纳可积'''的，如果存在一列可积的简单函数''s''<sub>''n''</sub>满足
: <math>\lim_{n\to\infty}\int_X \|f-s_n\|_B\,d\mu = 0</math>，
其中左边的积分是普通勒贝格积分。

在这种情形下，'''博赫纳积分'''定义为
: <math>\int_X f\, d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_X s_n\, d\mu</math>。
可以证明，函数是博赫纳可积的当且仅当它位于[[博赫纳空间]] <math>L^1</math>。

== 参见 ==
* {{link-en|博赫纳空间|Bochner space}}
* {{link-en|佩蒂斯积分|Pettis integral}}
* [[向量测度]]

== 参考文献 ==
*{{citation|last=Bochner|first=Salomon|title=Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind|journal=Fundamenta Mathematicae|year=1933|volume=20|pages=262–276|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf|accessdate=2017-02-17|archive-date=2018-07-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20180721194642/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf|dead-url=no}}
*{{citation|first=Donald|last=Cohn|title=Measure Theory|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-1-4614-6955-1|url=http://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-6956-8|accessdate=2017-02-17|archive-date=2020-08-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20200829034810/https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4614-6956-8|dead-url=no}}
*{{citation|first=Kôsaku|last=Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer|year=1980|isbn=978-3-540-58654-8|url=http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-61859-8|accessdate=2017-02-17|archive-date=2020-08-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20200808071216/https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-61859-8|dead-url=no}}
*{{citation|first=Joseph|last=Diestel|title=Sequences and Series in Banach Spaces|publisher=Springer|year=1984|isbn=0-387-90859-5|url=http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4612-5200-9|accessdate=2017-02-17|archive-date=2020-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20201027131211/https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4612-5200-9|dead-url=no}}
*{{citation|last1=Diestel|last2=Uhl|title=Vector measures|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1977|isbn=978-0-8218-1515-1|url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183540941|accessdate=2017-02-17|archive-date=2020-07-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20200723061356/https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183540941|dead-url=no}}
*{{Citation|last1=Hille|first1=Einar|first2=Ralph|last2=Phillips|title=Functional Analysis and Semi-Groups|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1957|isbn=0-8218-1031-6}}
*{{citation|last=Lang|first=Serge|title=Real and Functional Analysis|year=1993|publisher=Springer|isbn=978-0387940014|edition=3rd}}
*{{springer|title=Bochner integral|id=B/b016710|first=V. I.|last=Sobolev}}
*{{springer|title=Vector measures|id=V/v096490|first=D.|last=van Dulst}}

[[Category:积分的定义]]
[[Category:拓扑向量空间]]
{{泛函分析}}