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在[[微分几何]]中，'''博赫纳恒等式'''是关于[[黎曼流形]]之间[[调和映射]]的[[恒等式]]。 它以[[美国]][[数学家]][[所罗门·博赫纳]]的名字命名。

== 数学表述 ==
设 ''M'' 和 ''N'' 为黎曼流形，并令 ''u''&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''N'' 为一个调和映射。 设d''u'' 表示的''u''的（向前）导数，∇为[[梯度]]，Δ为[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子]]，Riem<sub>''N''</sub> 为''N''上的 [[黎曼曲率张量]]，Ric<sub>M</sub> 为''M''上的[[里奇曲率张量]]，则有
:<math>\frac12 \Delta \big( | \nabla u |^{2} \big) = \big| \nabla ( \mathrm{d} u ) \big|^{2} + \big\langle \mathrm{Ric}_{M} \nabla u, \nabla u \big\rangle - \big\langle \mathrm{Riem}_{N} (u) (\nabla u, \nabla u) \nabla u, \nabla u \big\rangle.</math>

== 参见 ==
* [[博赫纳公式]]

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|title=A report on harmonic maps|last=Eells|first=J|last2=Lemaire, L.|journal=Bull. London Math. Soc.|issue=1|doi=10.1112/blms/10.1.1|year=1978|volume=10|pages=1–68|mr=495450}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld|title=Bochner identity|urlname=BochnerIdentity}}

[[Category:微分几何]]
[[Category:数学恒等式]]