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[[经典力学]]自[[牛顿]]创立以来，经[[拉格朗日]]和[[哈密顿]]等人的努力发展成为分析[[力学]]，并向[[刚体力学]]、[[弹性力学]]、[[流体力学]]等具体领域继续推进。1973年，[[南部阳一郎]]提出一种逻辑上自恰的广义力学体系，称为'''南部力学'''。正如[[黎曼几何]]的真正价值直到[[广义相对论]]出现后才开始显现，而南部力学，除了南部自己指出的它与刚体力学的联系外，尚有空间作进一步研究。

==单自由度情形==
===哈密顿力学===
设[[正则变量]]为 <math>\xi_1</math> 和 <math>\xi_2</math> ，分别描述[[广义坐标]]和[[广义动量]]，H为[[哈密顿量]]，它是广义坐标和广义动量的函数，且可显含时间，则运动方程为

<math>\dot{\xi_1}=\frac{\partial H}{\partial \xi_2},\qquad\dot{\xi_2}=-\frac{\partial H}{\partial \xi_1}.</math>

若使用[[雅可比行列式]]记号，则上述两个方程可以合写为

<math>\dot{\xi_i}=\frac{\partial \left(\xi_i,H\right)}{\partial \left(\xi_1,\xi_2\right)},\qquad i=1,2.</math>

此外，若定义[[泊松括号]]

<math>\left[F,H\right]=\frac{\partial \left(F,H\right)}{\partial \left(\xi_1,\xi_2\right)}.</math>

则任意力学量 <math>F\left(\xi_1,\xi_2,t\right)</math> 的随时[[变化率]]为

<math>\dot{F}=\frac{\partial F}{\partial t}+\left[F,H\right].</math>

===南部力学===
南部力学相对于哈密顿力学的推广只在于正则变量由'''2'''个变为'''n'''个，即 <math>\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n.</math> 相应的哈密顿量也由'''1'''个变为'''n-1'''个，即 <math>H_1,\cdots,H_{n-1}.</math> 则运动方程为

<math>\dot{\xi_i}=\frac{\partial \left(\xi_i,H_1,\cdots,H_{n-1}\right)}{\partial \left(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\right)},\qquad i=1,2,\cdots,n.</math>

同样地，可仿照定义南部括号

<math>\left[F,H_1,\cdots,H_{n-1}\right]=\frac{\partial \left(F,H_1,\cdots,H_{n-1}\right)}{\partial \left(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\right)}</math>

则任意力学量 <math>F\left(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,t\right)</math> 的随时变化率

<math>\dot{F}=\frac{\partial F}{\partial t}+\left[F,H_1,\cdots,H_{n-1}\right].</math>

==多自由度情形==
多自由度情形并不比单自由度情形复杂多少，仅使每个正则变量取多个值，而南部括号定义中仅需对自由度求和即可。此处不复赘述。

==南部力学与刚体力学的联系==

南部在他的论文中同时指出，刚体力学即 <math>n=3</math> 情形的南部力学。

取[[刚体]][[角动量]]在三个[[惯量主轴]]上的[[投影]]<math>L_i=I_i\omega_i \left(i=1,2,3\right)</math>为正则变量，哈密顿量如下定义

<math>H_1=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 L_i^2,\qquad H_2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 \frac{L_i^2}{I_i}.</math>

代入南部力学方程即可得到刚体[[自由转动]]的[[歐拉方程 (剛體運動)|欧拉方程]]。

==展望==

现实世界力学的正则形式是南部力学 <math>n=2</math> 的情形，刚体力学是南部力学 <math>n=3</math> 的情形，除此之外，南部力学还应用于[[奇异哈密顿系统]]和受[[约束]]哈密顿系统子系统的研究。我们期待对此有更深一步的进展。

==参考文献==

# Y . Nambu . ''Phys.Rev.'' . D7(1973)2405.
# 张启仁 . 2002 . 经典力学 . 北京 : 科学出版社



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