查看“︁单调收敛定理”︁的源代码

在数学中，有许多定理称为'''单调收敛定理'''（{{lang-en|Monotone convergence theorem}}）；这里我们介绍一些主要的例子。

==单调实数序列的收敛性==
===定理===
如果''a<sub>k</sub>''是一个单调的[[实数]][[序列]]（例如''a<sub>k</sub>''&nbsp;&le; ''a''<sub>''k''+1</sub>），则这个序列具有[[数列極限|极限]]（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是[[有界函数|有界]]的，这个极限是[[有限]]的。

===证明===
我们证明如果递增序列<math>\langle a_n \rangle</math>有上界，则它是收敛的，且它的极限为<math>\sup_n \{a_n\}</math>。

由于<math>\{ a_n \}</math>非空且有上界，因此根据实数的[[最小上界公理]]，<math>c = \sup_n \{a_n\}</math>存在，且是有限的。现在，对于每一个<math>\varepsilon > 0</math>，都存在一个<math>a_N</math>，使得<math>a_N > c - \varepsilon </math>，否则<math>c - \varepsilon </math>是<math>\{ a_n \}</math>的一个上界，这与<math>c</math>为最小上界<math>\sup_n \{a_n\}</math>的事实矛盾。于是，由于<math>\langle a_n \rangle</math>是递增的，对于所有的n > N，都有<math>|c - a_n| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon </math>，因此根据定义，<math>\langle a_n \rangle</math>的极限为<math>\sup_n \{a_n\}</math>。证毕。

类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的[[最大下界]]就是它的极限。

==单调[[级数]]的收敛性==

===定理===
如果对于所有的自然数''j''和''k''，''a''<sub>''j'',''k''</sub>都是非负实数，且''a''<sub>''j'',''k''</sub>&nbsp;&le; ''a''<sub>''j''+1,''k''</sub>，则（参见<ref>{{cite book|author=J Yeh|title=Real analysis. Theory of measure and integration|year=2006}}</ref>第168页）：
:<math>\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}</math>

==勒贝格单调收敛定理==

这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。

===定理===
设( X, A, <math>\mu </math> )为一个[[测度|测度空间]]。若序列 <math> f_1, f_2, \ldots </math> 為定義域是
<math>X</math>，對應域是 <math>[0,\infty)</math> 的 <math>\mu</math>-[[可测函数|可测]]单调递增函数序列。也就是说 <math>\forall x\in X,\, k\in \mathbb{N}</math>，有
:<math> 0\le f_k(x) \leq f_{k+1}(x)</math>。
接着，设序列 <math>\{f_{n}\} </math> 的逐点极限为 <math>f</math>。也就是说 <math>\forall x\in X,</math>
:<math>f(x):= \lim_{k\to\infty} f_k(x)</math>。
則 <math>f</math> 會是 <math>\mu</math>-可测函數，且：
:<math>\lim_{k\to\infty} \int_X f_k\, d\mu = \int_X f\, d\mu </math>。（参见<ref>{{cite book|author=Erik Schechter|title=Analysis and Its Foundations|section=21.38|year=1997}}</ref>第21.38节）

注意其積分值不一定是有限值，也就是左右兩邊可能都是無限大。

===证明===
我们首先证明f是<math>\mu </math>-可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的[[σ代数]]A的一个元素。设I为<math>[0,\infty] </math>的一个子区间。那么：
:<math> f^{-1}(I) = \{x\in X | f(x)\in I \} </math>。
另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此：
:<math>f(x)\in I \Leftrightarrow f_k(x)\in I, ~ \forall k\in \mathbb{N}</math>。
所以：
:<math>\{x\in X | f(x)\in I\} = \bigcap_{k\in \mathbb{N}} \{x\in X | f_k(x)\in I\}</math>。
注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在<math>\mu </math>-可测函数<math> f_k </math>下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是<math>\mu </math>-可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。 

现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是<math>\mu </math>-可测的事实，意味着表达式<math> \int f d\mu </math>是定义良好的。 

我们从证明<math> \int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu </math>开始。

根据[[勒贝格积分]]的定义，
:<math> \int f d \mu = sup \{\int g d \mu | g \in SF, g\leq f \} </math>，
其中SF是X上的<math>\mu </math>-可测[[简单函数]]的交集。由于在每一个<math>x\in X </math>，都有<math>f_k(x)\leq f(x)</math>，我们便有：

:<math>\left\{\int g d \mu | g \in SF, g\leq f_k \right\}\subseteq \left\{\int g d \mu | g \in SF, g\leq f \right\}.</math>

因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有：<math> \int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu .</math>  

右面的极限存在，因为序列是单调的。

我们现在证明另一个方向的不等式（也可从[[法图引理]]推出），也就是说，我们来证明：

:<math> \int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu. </math> 

从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递減序列''g''<sub>''n''</sub>，它几乎处处逐点收敛于''f''，且：

:<math> \lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu. </math>

只需证明对于每一个<math>k\in \mathbb{N} </math>，都有：

:<math>  \int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu</math>

这是因为如果这对每一个''k''都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果''g<sub>k</sub>''是简单函数，且

:<math> \lim_j f_j(x) \geq g_k(x) </math> 

几乎处处，则： 

:<math> \lim_j \int f_j d \mu \geq \int g_k d \mu.</math>

由于积分是线性的，我们可以把函数<math>g_k</math>分拆成它的常数部分，化为<math>g_k</math>是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设<math>f_j</math>是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。 
 
为了证明这个结果，固定<math>\epsilon > 0 </math>，并定义可测集合的序列：

:<math> B_n = \{x \in B: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}. </math>

根据积分的单调性，可以推出对于任何的<math>n\in \mathbb{N}</math>，都有： 

:<math> \mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon)
1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu </math>

根据<math> \lim_j f_j(x) \geq g_k(x) </math>的假设，对于足够大的''n''，任何''B''内的''x''都将位于<math>B_n</math>内，因此：

:<math> \bigcup_n B_n = B</math>。

所以，我们有：

:<math> \int g_k d\mu =\int 1_B d\mu = \mu(B) = \mu(\bigcup_n B_n) .</math>

利用测度的单调性，可得：
:<math>\mu(\bigcup_n B_n)=\lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d\mu</math>

取<math>k \rightarrow \infty</math>，并利用这对任何正数<math>\epsilon</math>都正确的事实，定理便得证。

==参见==
*[[无穷级数]]
*[[勒贝格控制收敛定理]]

==注释==
{{reflist}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:序列]]
[[Category:实分析定理]]
[[Category:测度论定理]]

[[it:Passaggio al limite sotto segno di integrale#Integrale di Lebesgue]]