查看“︁单调函数”︁的源代码

{{noteTA
|G1=数学
}}
{{refimprove|time=2018-10-27T04:24:31+00:00}}
[[File:Monotonicity example1.png|thumb|单调非递减函数。]]
[[File:Monotonicity example2.png|thumb|单调非递增函数。]]
[[File:Monotonicity example3.png|thumb|非单调函数。]]
在[[数学]]中，給定[[函數]][[定義域]]，當定義域中較小的[[自變量]]值小於較大的自變量值時，較小的[[自變量]]值對應的[[因變量]]值總是小於較大的[[自變量]]值對應的[[因變量]]值，那麼這個函數就是'''單調增加函數'''。當定義域中較小的[[自變量]]值小於較大的自變量值時，較小的[[自變量]]值對應的[[因變量]]值總是大於較大的[[自變量]]值對應的[[因變量]]值，那麼這個函數就是'''單調減少函數'''。單調增加函數和單調減少函數統稱'''單調函數'''。<ref>{{citebook|author=张耀梓，郑仲三主编|title=微积分学|publisher=天津大学出版社|date=1993-08|page=第14页|isbn=7561805063}}</ref>

这個概念最先出现在[[微积分]]中，后来推广到[[序理论]]中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是'''单调递增'''和'''单调递减'''的，在序理论中偏好术语'''单调'''、'''反单调'''或'''序保持'''、'''序反转'''。

== 一般定义 ==

设
:<math>f: P \longrightarrow Q</math>
是在两个带有[[偏序关系|偏序]]≤的[[集合 (数学)|集合]]<math>P</math>和<math>Q</math>之间的[[函数]]。在微积分中，它们是带有平常次序的[[实数]]集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。

函数<math>f</math>是'''单调'''的，如果只要<math>x \leq y</math>，则<math>f(x) \leq f(y)</math>。因此单调函数保持次序关系。

== 微积分和实分析中的单调性 ==
{{微积分学}}
在微积分中，经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述，函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。

受在实数上的单调函数的[[函数#函数图形|图]]的形状的启发，这种函数也叫做'''单调递增'''的（或"非递减"的）。类似的，函数叫做'''单调递减'''的（或"非递增"的），如果只要<math>x < y</math>，则<math>f(x) \geq f(y)</math>，就说它反转了次序。

如果把定义中的次序≥替换为严格次序>，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做'''严格递增'''的<ref>{{citebook|title=数学分析教程 上册|author=常庚哲,史济怀|publisher=中国科学技术大学出版社|isbn=9787312030093|year=2012|page=66}}</ref>。还有通过反转序符号，可以得到对应的'''严格递减'''。严格递增或递减的函数是[[双射|一一映射]]（因为<math>a < b</math>蕴涵<math>a \neq b</math>）。

要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。

== 序理论中的单调性 ==

在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意[[偏序集合]]甚至是[[预序关系|预序集合]]。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语「递增」和「递减」，因为一旦处理的不是[[全序关系|全序]]的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，[[严格序|严格]]关系<和>在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。

单调（monotone）函数也叫做'''isotone'''或'''序保持'''函数。[[对偶性 (序理论)|对偶]]概念经常叫做'''反单调'''、'''antitone'''或'''序反转'''。因此，反单调函数''f''满足性质
: <math>x \leq y</math>蕴涵<math>f(x) \geq f(y)</math>，对于它的定义域中的所有<math>x</math>和<math>y</math>。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。

[[常数函数]]是单调的也是反单调的；反过来，如果<math>f</math>是单调的也是反单调的，并且如果<math>f</math>的定义域是[[格 (数学)|格]]，则''<math>f</math>''必定是常量函数。

单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是[[序嵌入]]（<math>x \leq y</math>[[当且仅当]]<math>f(x) \leq f(y)</math>的函数）和[[序同构]]（[[双射]]序嵌入）。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{refbegin}}
* {{cite book
 | last1 = Pemberton
 | first1 = Malcolm
 | last2 = Rau
 | first2 = Nicholas 
 | title = Mathematics for economists: an introductory textbook
 | url = https://archive.org/details/mathematicsforec0000malc_f9y4
 | publisher = Manchester University Press
 | year = 2001
 | pages = 
 | ISBN = 0719033411
}}
{{refend}}

[[Category:序理论|D]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:函数]]