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{{NoteTA
|G1=Math
}}
{{About|沒有非平凡正規子群的群|比群更廣義的結構|幺半群}}
{{群论}}
[[数学]]上的'''单群'''（{{lang-en|'''Simple group'''}}）是指没有非平凡[[正规子群]]的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的[[商群]]。这个过程可以一直做下去。对于[[有限群]]，[[合成列#若尔当-赫尔德定理|若尔当-赫尔德定理]]表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的[[合成列]]（最多相差一个[[置换]]）。在2008年完成的[[有限單群分類]]工作是数学史上一个重要的里程碑。

== 定義 ==
設 <math>(G, *)</math> 為群，如果其內的正規子群只有 <math>G</math> 本身與單位元<math>e</math>组成的群（平凡群）<math>\{e\}</math>，則稱之為'''单群'''。

== 例子 ==
=== 有限单群 ===
[[循环群]]{{mvar|G}} = '''Z'''/3'''Z'''，即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为，若{{mvar|H}}是这个群的一个子群，则它的[[階 (群論)|阶]]一定是群{{mvar|G}}的阶3的约数，因为3是素数，所以{{mvar|H}}只能是{{mvar|G}}或者平凡群。另一方面，群{{mvar|G}}='''Z'''/12'''Z'''就不是单群。因为任意[[阿贝尔群]]的子群一定是正规子群，且12为合数，故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如，由模12余0，4，8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地，整数集&nbsp;'''Z'''&nbsp;与加法运算组成的群也不是单群，由偶数集2'''Z'''和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群<ref>Knapp (2006), [{{Google books|plainurl=y|id=KVeXG163BggC|page=170|text=Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z}} p. 170]</ref>。

按照上面的方法可以证明，阿贝尔单群只有素数阶循环群。最小的非阿贝尔单群是[[交错群]] <math>A_5</math> ，它的阶是60，而且可以证明每一个阶为60的单群都与&nbsp;<math>A_5</math> [[群同构|同构]]<ref>Rotman (1995), [{{Google books|plainurl=y|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic}} p. 226]</ref>。第二小的非阿贝尔单群是[[射影线性群|射影特殊线性群]][[七元域上二阶方阵的特殊射影线性群|<math>\mathrm{PSL}(2,7)</math>]] ，它的阶是168。可以证明，阶为168的单群都与&nbsp;<math>\mathrm{PSL}(2,7)</math>&nbsp;同构<ref>Rotman (1995), p. 281</ref><ref>Smith & Tabachnikova (2000), [{{Google books|plainurl=y|id=DD0TW28WjfQC|page=144|text=any two simple groups of order 168 are isomorphic}} p. 144]</ref>。

<math>\mathrm{PSL}(2,7)</math>是有限域上的典型群的一个例子，它也是一个有限阶李群。除了素数阶循环群、交错群和有限阶李群（包括典型群和例外或缠绕李群）之外的有限单群统称为散在群，详见[[有限单群分类]]。

=== 无限阶单群 ===
无限阶交错群，即由整数的所有偶置换组成的群<math>A_\infty</math>是单群。另一个无限阶单群的例子是域<math>F</math>上的射影特殊线性群<math>\mathrm{PSL}_n(F)</math>，其中&nbsp;<math>n\geq 3</math>。

相比之下，要构造'''有限生成'''的无限阶单群就困难得多，最早的例子由{{le|格雷厄姆·希格曼|Graham Higman}}提出，它是{{le|希格曼群|Higman group}}的子群<ref>{{Citation |last1 = Higman|first1 = Graham|title = A finitely generated infinite simple group|doi = 10.1112/jlms/s1-26.1.59|mr = 0038348|year = 1951|journal = Journal of the London Mathematical Society. Second Series|issn = 0024-6107|volume = 26|issue = 1|pages = 61–64}}</ref>。&nbsp;其它的例子包括[[湯普森群]] ''T''&nbsp;和&nbsp;''V''。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。<ref>M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." ''Publ. Math. IHES'' '''92''' (2000), pp.151–194.</ref>

== 分类 ==
到目前为止，未有对一般单群进行分类的方法。

=== 有限单群 ===
{{main|有限单群分类}}
[[有限单群]]是很重要的，因为在一定意义上，它们是所有[[有限群]]的“基本组成部分”，有点类似于[[质数]]是[[整数]]的基本组成部分。

== 有限单群的结构 ==
[[法伊特-湯普森定理]]声称，所有的奇数阶群都是[[可解群]]。&nbsp;因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数。

== 群的非单性判据 ==
西羅测试：设{{mvar|n}}为一正合数，{{mvar|p}}是它的一个素因子。 若在{{mvar|n}}的所有约数中只有 1 模{{mvar|p}}同余于 1，则不存在阶为{{mvar|n}}的单群。

证明：如{{mvar|n}}为一素数幂，则阶数为{{mvar|n}}的群有非平凡的[[中心 (群论)|中心]]<ref>例如，参见[[P-群]]里的证明</ref>，因而不是单群。若{{mvar|n}}不是素数幂，则阶数为{{mvar|n}}的群的每一个西罗子群都是真子群，由[[西羅定理|西羅第三定理]]可知， 阶数为{{mvar|n}}的群的西罗{{mvar|p}}-子群的个数模{{mvar|p}}同余于1且为{{mvar|n}}的约数。但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗{{mvar|p}}-子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为{{mvar|n}}的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为{{mvar|n}}的群不是单群。

另一個證明一個群不是單群的方法是利用[[同態]]映射，因為對於一個群<math>G</math>而言，其子群<math>H</math>是[[正規子群]]，[[當且僅當]]<math>H</math>是某個關於<math>G</math>的同態映射的[[核 (代數)|核]]。

== 重要性 ==
「单群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群，因為正規子群 <math>H</math> 可以對將 <math>G</math> 的一部分研究化約為對商群 <math>G/H</math> 與 <math>H</math> 的研究，而對单群無法行此化約。

有限单群之於有限群論，一如素數之於整數論；它們可以被視為有限群的基本構件。

== 参阅 ==
* {{le|特征单群|Characteristically simple group}}
* {{le|准单群|Quasisimple group}}
* {{le|有限单群列表|List of finite simple groups}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 教科书 ==
* {{Citation|last1 = Knapp|first1 = Anthony W.|last2 = |first2 = |title = Basic algebra|url = |edition = |volume = |year = 2006|publisher = Springer|isbn = 978-0-8176-3248-9}}
* {{Citation|last1 = Rotman|first1 = Joseph J.|last2 = |first2 = |title = An introduction to the theory of groups|url = |edition = |series = Graduate texts in mathematics|volume = 148|year = 1995|publisher = Springer|isbn = 978-0-387-94285-8}}
* {{Citation|last1 = Smith|first1 = Geoff|last2 = Tabachnikova|first2 = Olga|title = Topics in group theory|url = |edition = 2|series = Springer undergraduate mathematics series|volume = |year = 2000|publisher = Springer|isbn = 978-1-85233-235-8|doi = }}

== 外部链接 ==
* {{Planetmath reference|id = 3569|title = simplicity of the alternating groups|urlname=simplicityofthealternatinggroups}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群的性質]]