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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[数学]]裡，'''单纯集合'''（{{lang|en|simplical set}}）是[[范畴 (数学)|范畴]][[同伦论]]中一个构造，这是“[[良态]]”[[拓扑空间]]的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自[[组合拓扑学]]特别是[[单纯复形]]。

==引言==

拓扑空间可从[[单形]]以及它们的接合关系（或准确地说表示为差一个同伦）构造出来，单纯集合是抓住这一点的范畴（即纯代数）模型。这类似于拓扑空间的 [[CW复形]]模型，本质区别是单纯集合是纯代数的，本身不带任何拓扑（这在给出正式定义后将见到）。

为了得到真正的拓扑空间，有一个几何实现[[函子]]，取值于[[紧生成豪斯多夫空间]]范畴。同伦论中绝大多数关于 CW 复形的结论有类似的单纯复形版本，推广了这些结论。尽管代数拓扑学家大多数仍坚持使用 CW 复形，越来越多的研究者对将单纯集合应用于[[代数几何]]学感兴趣，在代数几何中 CW 复形不是自然存在的。

==正式定义==
使用[[范畴论]]语言，一个'''单纯集合''' ''X'' 是一个[[反变函子]]

:''X'': &Delta; &rarr; '''Set''' 

这里 Δ 表示[[单纯范畴]]，其对象是有限字符串或如下形式的序数

:0 &rarr; 1 &rarr; ... &rarr; ''n'' 

（换句话说，非空[[全序]][[有限集合]]），而态射是它们之间的保序函数，'''Set''' 是[[小集合]]范畴。

通常定义单纯集合为从[[反范畴]]出发的[[共变函子]]
: ''X'': &Delta;<sup>op</sup> &rarr; '''Set'''
这显然等价于上一个定义。

或者，我们可以将一个单纯集合想象为 '''Set''' 范畴中的一个'''单纯对象'''，不过这只是如上定义的另一种说法。如果我们使用反变函子 ''X''，则得到了[[余单纯集合]]的定义。

单纯集合组成一个范畴，通常记做 s'''Set''' 或 '''S'''，其对象是单纯集合，态射是他们之间的[[自然变换]]。对余单纯集合也有相应的范畴，记做 c'''Set'''。 

这些定义来自于范畴 Δ 中施加到面映射与退化映射上条件的关系。

==面映射与退化映射==
在 Δ<sup>op</sup> 内，有两类特别重要的映射称为'''面映射'''与'''退化映射'''，他们抓住了单纯集合的组合性质。

面映射 ''d<sub>i</sub> :'' '''n''' → '''''n'' &minus; 1''' 如下给出

:''d<sub>i</sub>'' (0 &rarr; &hellip; &rarr; ''n'') = (0 &rarr; &hellip; &rarr; ''i''&nbsp;&minus;&nbsp;1 &rarr; ''i''&nbsp;+&nbsp;1 &rarr; &hellip; &rarr; ''n'').

退化映射 ''s<sub>i</sub>'' : '''''n''''' → '''''n'' + 1''' 如下给出
:''s<sub>i</sub>'' (0 &rarr; &hellip; &rarr; ''n'') = (0 &rarr; &hellip; &rarr; ''i''&nbsp;&minus;&nbsp;1 &rarr; ''i'' &rarr; ''i'' &rarr; ''i''&nbsp;+&nbsp;1 &rarr; &hellip; &rarr; ''n'').

由定义，这些映射满足如下'''单纯恒等式'''：

#''d<sub>i</sub> d<sub>j</sub>'' = ''d''<sub>''j''&minus;1</sub> ''d''<sub>''i''</sub> 如果 ''i'' < ''j''
#''d<sub>i</sub> s<sub>j</sub>'' = ''s''<sub>''j''&minus;1</sub> ''d<sub>i</sub>'' 如果 ''i'' < ''j''
#''d<sub>j</sub> s<sub>j</sub>'' = id = ''d''<sub>''j''+1</sub> ''s<sub>j</sub>''
#''d<sub>i</sub> s<sub>j</sub>'' = ''s''<sub>''j''</sub> ''d''<sub>''i''&minus;1</sub> 如果 ''i'' > ''j''&nbsp;+&nbsp;1
#''s<sub>i</sub> s<sub>j</sub>'' = ''s''<sub>''j''+1</sub> ''s''<sub>''i''</sub> 如果 ''i'' ≤ ''j''.

单纯范畴 Δ 的态射为单调不减函数。于是这些映射由去掉或添加一个元素组成，上如具体关系强调了拓扑应用。可以证明这些关系是充分的。

==标准 ''n''-单形与单形范畴==

范畴中 '''标准 ''n''-单形'''，记做 Δ<sup>''n''</sup>，是函子 ''hom(-, '''''n''''')'' 这里 '''''n''''' 表示开始 (''n''+1) 个非负整数字符串 0 → 1 → ... → ''n''，而 ''hom'' 集合在范畴 Δ 上取。在一些教材中，却记做 ''hom('''''n''''',-)'' 这里 ''hom'' 集合理解成取于反范畴 Δ<sup>op</sup><ref>May 1967, p14</ref>。

集合实现 |Δ<sup>''n''</sup>| 定义为一般位置的标准拓扑 ''n''-单形

:<math>|\Delta^n| = \{(x_0, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}: 0\leq x_i \leq 1, \sum x_i = 1 \}.</math>

由[[米田引理]]，单纯集合 ''X'' 的 ''n''-单形由自然变换hom(Δ<sup>''n''</sup>, ''X'') 刻画<ref>
特别地，考虑 <math>\Delta^n=\Delta^{\mathrm{op}}(\mathbf{n},-)</math>，则米田引理给出 <math>\mathrm{Nat}(\Delta^{\mathrm{op}}(\mathbf{n},-), X) \cong X(\mathbf{n})</math>
</ref>。从而 ''X'' 的 ''n''-单形记做 ''X<sub>n</sub>''。进一步，存在一个'''单形范畴'''，记做 <math>\Delta\downarrow{X}</math> 其对象是映射 Δ<sup>''n''</sup> → ''X''，态射是由在 Δ 中的 '''''n''''' ''→'' '''''m''''' 给出 ''X'' 上的自然变换 Δ<sup>''m''</sup> → Δ<sup>''n''</sup>。如下同态指出单纯集合 ''X'' 是其单形的余极限<ref>Goerss & Jardine, p.7</ref>：

: <math>X \cong \varinjlim_{\Delta^n \to X} \Delta^n</math>

这里余极限在 ''X'' 的单形范畴上取。

==几何实现==
有一个叫做'''几何实现'''的函子 |•|: '''S''' ''→'' '''CGHaus'''，将一个单纯集合 ''X'' 映为[[紧生成空间|紧生成]]豪斯多夫拓扑空间范畴中对应的实现。

这个较大的范畴用于这个函子的靶是因为，特别地，单纯集合的乘积

:<math>X \times Y</math> 

实现为对应拓扑空间的实现

:<math>|X| \times_{Ke} |Y|</math>，

其中 <math>\times_{Ke}</math> 表示[[凯莱空间乘积]]（{{lang|en|Kelley space product}}）。为了定义实现函子，我们首先定义它在 ''n''-单形 ''Δ<sup>n</sup>'' 上为对应的拓扑 ''n''-单形 |''Δ<sup>n</sup>''|。该定义自然扩张到任何单纯集合：

:|X| = lim<sub>''&Delta;<sup>n</sup> &rarr; X''</sub> |''&Delta;<sup>n</sup>''|

这里余极限取在 ''X'' 的 ''n''-单形。几何实现函子在 ''S'' 上有函子性。

==空间的奇异集合==
一个拓扑空间 ''Y'' 的'''奇异集合'''是如下单纯集合，对每个对象 '''n''' ''∈ Δ''，''S(Y):'' '''n''' ''→'' ''hom(''|''Δ<sup>n</sup>''|, ''Y)''，态射上赋予明显的函子条件。这个定义类似于[[单纯拓扑]]中的通过标准拓扑 ''n''-单形研究一个拓扑空间的想法。另外，'''奇异函子''' ''S'' [[伴随函子|右伴随]]于上面所说的几何实现函子：

:hom<sub>'''Top'''</sub>(|''X''|, ''Y'') &cong; hom<sub>'''S'''</sub>(''X'', ''SY'')

对任何单纯集合 ''X'' 与任何拓扑空间 ''Y''。

==单纯集合的同伦论==
在单纯集合范畴中，可以定义[[纤维化]]为[[阚纤维化]]。单纯集合的一个映射定义为[[弱等价]]如果其几何实现是空间的弱等价。单纯集合的一个映射定义为[[上纤维化]]如果它是单纯集合的一个[[单态射]]。[[丹尼尔·奎伦]]的一个艰深的定理说具有这三类态射的单纯集合范畴满足[[真模型范畴|真]][[闭模型范畴|闭]][[单纯模型范畴|单纯]][[模型范畴]]的公理。

此理论的一个重要转折点是阚纤维化的几何实现是空间的[[塞尔纤维化]]。以空间上的模型结构为基础，利用标准[[同伦代数|同伦]][[抽象废话]]可以发展一套单纯集合的同伦论。进一步，集合实现与奇异函子给出[[闭模型范畴]]之间的一个[[奎伦伴随|奎伦等价]]，这包含了单纯集合的同伦论与 CW 复形的通常同伦论之间的等价：

:|&bull;|: ''Ho''('''S''') &harr; ''Ho''('''Top''') : ''S''.

==单纯对象==
范畴 ''C'' 中的一个'''单纯对象''' ''X'' 是一个反变函子

:''X: &Delta; &rarr; C''

或等价地共变函子：
:''X'': &Delta;<sup>op</sup> &rarr; ''C''

当 ''C'' 是[[集合范畴]]，我们讨论的就是单纯集合。设 ''C'' 是[[群范畴]]或[[阿贝尔群范畴]]，我们分别得到单纯[[群]]范畴和单纯[[阿贝尔群]]范畴。

单纯群与单纯阿贝尔群也带有由底单纯集合诱导的闭模型结构。

单纯阿贝尔群的同伦群可由{{tsl|en|Dold-Kan correspondence|都德-阚对应}}给出，它诱导了单纯阿贝尔群与有界[[链复形]]两个范畴之间的等价，这个等价关系由函子： 

:''N:'' s'''Ab''' ''&rarr; Ch<sub>+</sub>'' 

与

:''&Gamma;: Ch<sub>+</sub> &rarr; ''s'''Ab'''

给出。

== 注释 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Goerss | first1=P. G. | last2=Jardine | first2=J. F. | title=Simplicial Homotopy Theory | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | year=1999 | volume=174}}
* {{Cite book | authorlink=J. Peter May|author=J. Peter May | title=Simplicial objects in algebraic topology | publisher=Van Nostrand, 1967 | isbn=0-226-51180-4 | year=1982}}

==外部链接==
* Dylan G.L. Allegretti, [http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html ''Simplicial Sets and van Kampen's Theorem''] {{Wayback|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html |date=20210303055016 }} ''(An elementary introduction to simplicial sets)''.

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同伦论]]
[[Category:单纯集合|*]]
[[Category:范畴论]]