查看“︁单纯形”︁的源代码

{{NoteTA
|T = zh-cn:单纯形; zh-tw:單體 (數學);
|G1 = Math
}}
[[File:tetrahedron.png|thumb|3维单纯形，也叫[[四面体]]。]]
[[几何学]]上，'''单纯形'''（{{lang-en| simplex}}）或者'''''n''-单纯形'''是和[[三角形]]类似的''n''维[[幾何形狀|几何体]]。精确的讲，单纯形是某个n维以上的[[欧几里得空间]]中的（''n''+1）个[[仿射变换|仿射无关]]（也就是没有''m-1''维[[平面 (数学)|平面]]包含''m''+1个点；这样的点集被称为处于[[一般位置]]）的[[点]]的集合的[[凸包]]。

例如，0-单纯形就是[[点]]，1-单纯形就是[[线段]]，2-单纯形就是[[三角形]]，3-单纯形就是[[四面体]]，而4-单纯形是一个[[正五胞体|五胞体]]（每种情况都包含内部）。

'''正单纯形'''<ref>{{citation | last = Elte | first = E. L. | title = The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces | publisher = University of Groningen | location = Groningen | year = 1912}} Chapter IV, five dimensional semiregular polytope</ref>是同时也是[[正多胞形]]的单纯形。正''n''-单纯形可以从正(''n''&nbsp;−&nbsp;1)-单纯形通过将一个新[[頂點 (幾何)|顶点]]用同样的边长连接到所有旧顶点构造。

==基础==<!-- This section is linked from [[Simplicial complex]] -->
任何''n+1''点集的非空子集的凸包定义了一个n-单纯形，称为该n-单纯形的'''面'''。面本身也是单纯形。（''n+1''点）的''m+1''子集的凸包是一个m-单纯形，称为n-单纯形的'''''m''-面'''。 0-面（也即，一个点构成的面）称为'''顶点'''，而1-面称为'''边'''，(''n''&nbsp;−&nbsp;1)-面称为'''面片'''，而''n''-面就是''n''-单纯形本身。一般来讲，''m''-面的个数等于[[二项式系数]] ''C''(''n'' + 1, ''m'' + 1)。因此，''n''-单纯形的''m''-面的个数可以在[[杨辉三角形]]的第(''n''+1)行和第(''m''+1)列找到。''面''和''面片''在描述[[单纯复形]]中的单纯形的类型时可能有不同的含义。参看[[单纯复形#定义]]。

'''正单纯形'''族是三族[[正多胞体]]的第一组，[[Coxeter]]将之记为''α<sub>n</sub>''，其它两类为[[正轴体]]，记为''β<sub>n</sub>''，和[[超立方体]]，记为''γ<sub>n</sub>''。第四组，[[超立方蜂巢|超立方体的无穷分割]]被记为''δ<sub>n</sub>''。
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|+ 
單純形的元素<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A135278|name=Pascal's triangle with its left-hand edge removed}}</ref>
|- 
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! m
{{數列|
! $
|0|10}}
!
|-
! [[多胞形|n]]
! Δ<sup>n</sup>
! α<sub>n</sub>
! 正投影圖
! n-單體
! 名称<br/>[[施莱夫利符号]]<br/>{{link-en|考克斯特符号|Coxeter-Dynkin diagram}}
! [[頂點 (幾何)|顶点]]
! [[邊 (幾何)|棱]]
! [[面 (幾何)|面]]
! [[胞 (幾何)|胞]]<BR>([[n維面|3維面]])
! [[n維面|''4''維面]]
{{數列|
! '''$'''維面
|5|10}}
!'''總和'''<br>= 2<sup>''n''+1</sup>&nbsp;−&nbsp;1
{{數列|<nowiki>
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! [[{{數字轉中文|num=$}}维空间|$]]
! Δ<sup>$</sup>
! α<sub>$</sub>
| {{#ifexpr:{{#expr:$1+1}}>0 and {{#expr:$1+1}}<12|[[File:{{#ifeq:$|1|Cross graph $|Complete graph K{{#expr:$1+1}}}}.svg|50px]]}}
| $-單體
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|{{計算|2^($1+1)-1}}
</nowiki>|-1|10|x|delnowiki=1|delmsgnw=1|preprocess=1}} 
|}

== 列表所用MAPLE公式 ==
* 使用（combstruct）:for n from 0 to 11 do seq(count(Combination(n), size=m) , m = 1 .. n) od; 
* OEIS A135278 [https://web.archive.org/web/20080915052708/http://www.research.att.com/~njas/sequences/A135278]

== 标准单纯形 ==

[[File:2D-simplex.svg|150px|thumb|right|'''R'''<sup>3</sup>中的标准2-单纯形]]
'''标准''n''-单纯形'''(或称'''单位''n''-单纯形''')是'''R'''<sup>''n''+1</sup>的子集：
:<math>\Delta^n = \left\{(t_0,\cdots,t_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\sum_{i=0}^n{t_i} = 1 \mbox{ and } \forall i,\ t_i \ge 0 \right\}</math>
单纯形Δ<sup>''n''</sup>位于{{link-en|仿射超平面|Affine Hyperplane}}（该超平面可以通过将上面''t''<sub>''i''</sub> ≥ 0的条件去掉而得到）。标准单纯形显然是正单纯形。

标准''n''-单纯形的顶点为
:''e''<sub>0</sub> = (1, 0, 0, …, 0),
:''e''<sub>1</sub> = (0, 1, 0, …, 0),
:<math>\vdots</math>
:''e''<sub>''n''</sub> = (0, 0, 0, …, 1).
存在从标准''n''-单纯形到顶点为(''v''<sub>0</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>)的任意''n''-单纯形的标准映射
:<math>(t_0,\cdots,t_n) \mapsto \Sigma_i t_i v_i</math>
系数''t''<sub>''i''</sub>称为点在''n''-单纯形中的[[重心坐标]]。这样的一般单纯形常常被称为'''仿射''n''-单纯形'''，以强调该标准映射是[[仿射变换]]。它有时也称为'''定向放射''n''-单纯形'''以强调标准映射可以是[[定向 (数学)|保定向]]或者是反定向的。

== 几何属性 ==

在''n''维空间中的顶点为(''v''<sub>0</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>)的''n''-单纯形的定向[[体积]]是

:<math>
 {1\over n!}\det
 \begin{pmatrix}
  v_1-v_0 & v_2-v_0& \dots & v_{n-1}-v_0 & v_n-v_0
 \end{pmatrix}
</math>

其中''n''&nbsp;×&nbsp;''n''[[行列式]]的每列是代表两个顶点的[[向量]]之差。去掉1/''n''!的公式是''n''-[[平行多面体]]的体积。理解1/''n''!因子的一个方法如下:在单位''n''维盒子的取任意一点，将其坐标分量和0一起排序，然后将相邻数取差值，得到的数组构成原点和与其最近的''n''个顶点构成的''n''-单纯形中的一点的坐标；取差值的变换是一个保体积的变换，而排序则将点的个数减少到1/''n''!。

标准''n''-单纯形下的[[体积]]（也即，'''R'''<sup>n+1</sup>中的原点和单纯形之间的体积）是

:<math>
{1 \over (n+1)!}
</math>

单位边长的正''n''-单纯形的[[体积]]是

:<math>
{\frac{\sqrt{n+1}}{n!\sqrt{2^n}}}
</math>

这个结果可以导出如下：将上一个公式乘以''x''<sup>''n+1''</sup>，得到作为顶点离原点距离（所有顶点和原点等距）的函数的''n''-单纯形下的体积；对''x''微分，取导数在<math>x=1/\sqrt{2}</math>&nbsp;&nbsp;的值（因为这个位置''n''-单纯形边长为1），这个导数需要除以<math>\sqrt{n+1}</math>，因为增量<math>(dx,\dots, dx)</math>（垂直于''n''-单纯形的法向）的长度为<math>\sqrt{n+1}</math>。

=== "直角"的单纯形 ===
这里的直角表示存在一个顶点，其所有相邻超平面两两垂直。这样的单纯形是直角三角形的一个推广，对于它们存在着一个n维的[[毕达哥拉斯定理]]:

所有和直角相邻的n维超面的体积平方之和等于对面的n维体积的平方。
:<math> \sum_{k=1}^{n} |A_{k}|^2 = |A_{0}|^2 </math>
其中 <math> A_{1} \ldots A_{n} </math>是两两垂直但不垂直于<math> A_{0} </math>的超面，而<math>A_0</math>是直角的对面。

对于2-单纯形，这个定理就是[[毕达哥拉斯定理]]，而对于3-单纯形这个是适用于带立方角四面体的[[德古阿定理]]。

== 拓扑 ==

[[拓扑]]上，''n''-单纯形是[[拓扑等价]]于[[n维球面|''n''-球體]]的。每个''n''-单纯形是''n''维[[带边界流形]]。

[[代数拓扑]]上，单纯形是用于构建一类称为[[单纯复形]]的常用[[拓扑空间]]的基本元素。这些空间可以通过将单纯形用[[组合论|组合]]方式粘合在一起来构造。单纯复形用于定义特定的一类[[同调]]，称为[[单纯同调]]。

嵌入到'''R'''<sup>n</sup>的[[开子集]]中的''k''-单纯形的有限集称为'''仿射''k''-链'''。在链中的单纯形不必唯一；它们可以[[重次|重复]]出现。通常不采用集合的记法来标识仿射链，而是采用加号将它们连起来。若有些单纯形有相反的[[定向]]，它们可以用减号。如果有些单纯形出现多次，可以放一个整数在前面表示出现次数。这样，仿射链可以用整系数的线性组合表示。

注意''n''-单纯形的每个面是一个仿射''n-1''-单纯形，因此''n''-单纯形的[[边界]]可以用一个仿射''n-1''-链来表示。如果定义一个正定向的单纯形

:<math>\sigma=[v_0,v_1,v_2,...,v_n]</math>

其中 <math>v_j</math> 代表顶点，则其边界 <math>\partial\sigma</math> 是如下链

:<math>\partial\sigma = \sum_{j=0}^n 
(-1)^j [v_0,...,v_{j-1},v_{j+1},...,v_n]</math>.

更一般的，单纯形（以及链）可以通过光滑可微映射[[嵌入]]到[[流形]]中：<math>f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow M</math>。这个情况下，加法表示和边界算子都和嵌入可交换。也即

:<math>f(\sum\nolimits_i a_i \sigma_i) = \sum\nolimits_i a_i f(\sigma_i)</math>

其中 <math>a_i</math> 是标识定向和重次的整数。对于边界算子 <math>\partial</math>，有

:<math>\partial f(\phi) = f (\partial \phi)</math>

其中 φ 为链。边界算子和映射可交换，是因为，链基本就是一个集合，而集合操作和[[函数|映射]]是可交换的（按照映射的定义）。

到[[拓扑空间]]''X''中的连续映射 <math>f:\sigma\rightarrow X</math> 常常被称为'''奇异''n''-单纯形'''。因为f可以有奇点。

== 随机采样 ==

(也称'''单纯形采点''') 有两种在单位''K-1''-单纯形中产生有效产生均匀分布的采样方法。

第一种方法基于从''K-1''维单位单纯形采样等价于从参数''α'' = (''α''<sub>1</sub>, ..., ''α''<sub>''K''</sub>)都等于1的[[狄利克雷分布]]中采样的事实。确切的流程为：

* 产生''K''个服从单位[[指数分布]]的随机数''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''K''</sub>.
** 这可以通过产生''K''个在[[开区间]](0,1)中[[均匀分布]]的随机数''y''<sub>''i''</sub>然后取 ''x''<sub>''i''</sub>=-ln(''y''<sub>''i''</sub>).
* 令''S''为''x''<sub>''i''</sub>之和。
* 单位单纯形中的点的''K''个坐标''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''K''</sub>由''t''<sub>''i''</sub>=''x''<sub>''i''</sub>/''S''给出。

第二个方法是基于单位区间上的均匀分布的[[顺序统计量]]（参看[[#延伸閱讀|Devroye]], p.568）。算法如下：

* 令 ''p''<sub>0</sub> = 0 而 ''p''<sub>''K''</sub>=1.
* 产生''K''-1个开区间(0,1)上[[均匀分布]]的随机数''p''<sub>''i''</sub>。
* 将''K''+1点''p''<sub>0</sub>, ..., ''p''<sub>''K''</sub>排序。
* 单位单纯形中的点的''K''个坐标''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''K''</sub>由''t''<sub>''i''</sub>=''p''<sub>''i''</sub>-''p''<sub>''i''-1</sub>给出。

=== 随机漫游 ===

有时需要在单纯形中进行均匀[[随机漫游]]而不是取一点。这样的随机漫游在[[蒙特卡罗法]]中经常用到，譬如单纯形域中的[[马尔可夫链蒙特卡罗]]。

可以从单位化''K''个[[指数分布]]随机向量来得到单纯形中的均匀分布来衍生出漫游的有效算法。首先定义一个单变量函数在正实直线上"漫游"，其采样点的静态分布为单位指数分布。该函数利用[[Metropolis-Hastings算法]]从旧点得到新点。这个函数伪代码如下，其中''h''是相对步长：
<code><pre>
next_point <- function(x_old)
{
    repeat {
        x_new <- x_old * exp( Random_Normal(0,h) )
        metropolis_ratio <- exp(-x_new) / exp(-x_old)
        hastings_ratio <- ( x_new / x_old )
        acceptance_probability <- min( 1 , metropolis_ratio * hastings_ratio )
        if ( acceptance_probability > Random_Uniform(0,1) ) break
    }
    return(x_new)
}
</pre></code>
然后在单纯形中随机漫游:
* 取服从单位指数分布的随机变量''x''<sub>''i''</sub>, ''i''= 1, 2, ..., ''K''.
* 对于每个 ''i''= 1, 2, ..., ''K''
** ''x''<sub>''i''</sub> ← next_point(''x''<sub>''i''</sub>)
* 令''S''为''x''<sub>''i''</sub>之和
* 令''t''<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''</sub>/''S''（对于所有 ''i''= 1, 2, ..., ''K''）
''t''<sub>''i''</sub>限制在单纯形中，并会以均匀的静态分布密度来反复遍历整个区域。注意不要每一步都单位化''x''<sub>''i''</sub>；那样会得到非均匀的静态分布。实际上，应该把''x''<sub>''i''</sub> 视为"隐"参数，而''t''<sub>''i''</sub>才给出单纯形中的坐标。

== 参看 ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* {{le|因果动态三角化|Causal dynamical triangulation}}
* [[距离几何]]
* [[Delaunay三角化]]
* 其它正n-[[多胞体]]
** [[超立方体]] 
** [[正轴体]]
* [[三维球面]]
* [[6-多胞體數]]
* [[四维超正方体]]
* [[四维多胞体]]
* [[多胞体]]
* [[正多胞体列表]]
* [[单纯形法]] - 求解带不等式条件的优化问题的方法
* [[单纯复形]]
* [[单纯同调]]
* [[单纯集]]
</div>

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* Olshevsky, George，《超空间术语表》中的[https://web.archive.org/web/20021011144308/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Simplex 单纯形]（英语）
* OEIS A135278 给出数字T(n,m) = 二项式系数(n+1,m+1)的三角形；或者说，除去左边的杨辉三角形A007318。 [https://web.archive.org/web/20080915052708/http://www.research.att.com/~njas/sequences/A135278]

== 延伸閱讀 ==
* [[Walter Rudin]], ''Principles of Mathematical Analysis (Third Edition)'', (1976)  McGraw-Hill, New York, ISBN 0-07-054235-X  ''(参看第10章中对拓扑性质的简单回顾。)''.
* [[Andrew S. Tanenbaum]], ''Computer Networks (4th Ed)'', (2003) Prentice Hall, ISBN 0-13-066102-3 ''(See 2.5.3)''. 
* Luc Devroye, ''[https://web.archive.org/web/20090505034911/http://cg.scs.carleton.ca/~luc/rnbookindex.html Non-Uniform Random Variate Generation].'' (1986) ISBN 0-387-96305-7. 
* [[H.S.M. Coxeter]], ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
** p120-121 
** p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)
* {{mathworld|urlname=Simplex|title=Simplex}}

{{Include|维度}}
{{Include|正多胞形}}

[[Category:多胞形|D]]
[[Category:拓扑学|D]]
[[Category:多维几何|D]]