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{{NoteTA|G1 = Math}}
{{Rough translation|time=2021-08-31T14:12:16+00:00}}
在[[环论]]中，若某非无零因子环除了{{le|零理想|Zero ideal}}及其本身兩個理想外沒有其他双边[[理想 (环论)|理想]]，则称该环为'''单环'''。特别地，[[交换环]]是单环当且仅当它是一个[[体 (数学)|域]]。 

单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个[[結合代數]]。因此，单代数和单环是相同的概念。 

此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左[[阿廷环]]或右阿廷环（即半单环）。在這種术语下，没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。 

存在在自身上不是[[单模]]的单环，即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全[[矩阵环]]，它没有非平凡理想（因为<math>M_n(R)</math>的任何理想都具有<math>M_n(I)</math>的形式，其中<math>I</math>是<math>R</math>的理想），但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。 

根据[[阿廷-韦德伯恩定理]]，所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间，则它必然與实数域、複數域或四元數域上的矩阵环同構。 

单环，但非除环上的矩阵环的一个例子是{{le|外尔代数|Weyl algebra}}。 

== 特徵 ==
如果一個环不包含非平凡的雙邊理想，则它是一個單代数。 

单代数的直接示例是除法代数，其中每个非零元素都有一个乘法逆，比如[[四元数]]的实代数。此外，可以证明在除環中有元{{nowrap|n  ×  n}}矩阵的代数是單代數。实际上，它可以描述所有有限維度的单代数，直到[[同构]]為止。換言之，在其中心上的任何有限維度單代数与某个除法环上的{{le|矩阵代数|Matrix algebra}}同构。1907年，[[约瑟夫·韦德伯恩]]在其博士学位论文《論超复数》中證明這一件事。該論文出現於伦敦数学学会论文集裡。韋德伯恩在其论文中分類了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块：在代数的意义上，任何有限維度的半单代数都是單代數的笛卡尔积。 

後來[[阿廷-韦德伯恩定理]]將韋德伯恩的結果廣義化到半单环。 

== 例子 ==
*一個{{le|中心单代数|Central simple algebra}}（有时称为布饒爾代数）是一个[[体 (数学)|域]]''F''上的有限維度單代數，且該域的中心為''F''。 

设'''R'''为实数域，'''C'''为複數域，'''H'''为四元数域。 

* '''R'''上的所有有限維度單代數都與'''R'''、'''C'''或'''H'''上的矩陣環同構。'''R'''上的所有中心單代數都與'''R'''或'''H'''上的矩陣環同構。這些結果由{{le|弗罗贝尼乌斯定理 (代数)|Frobenius theorem (real division algebras)|弗罗贝尼乌斯定理}}得出。
* '''C'''上的所有有限維度單代數都是中心單代數，與'''C'''上的矩陣環同構。
* [[有限域]]上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構。
* 對於一個[[交换环]]，下列四個性質都是等價的：作為[[半單環]]、作為{{le|约化|reduced ring}}[[阿廷环]]、作為[[克鲁尔维数]]為0的約化[[诺特环]]以及與域的有限直積同構。 

== 韋德伯恩定理 ==
{{main|阿廷-韦德伯恩定理}}
韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵（左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化）。也就是說，所有此類的環都是除環上的{{nowrap|''n'' × ''n''}}矩陣，直至[[同構]]為止。 

設''D''為一個除環，{{nowrap|M<sub>''n''</sub>(''D'')}}為''D''上有元矩陣的環。因此，可以證明{{nowrap|M<sub>''n''</sub>(''D'')}}中的所有左理想都用以下形式出現： 

:{''M'' ∈ M<sub>''n''</sub>(''D'') | ''M''的第 ''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>''k''</sub>行沒有元}, 

對於某個固定{''n''<sub>1</sub>, ..., ''n<sub>k</sub>''} ⊆ {1, ..., ''n''}。因此，{{nowrap|M<sub>''n''</sub>(''D'')}}中最小理想的格式為 

:{''M'' ∈ M<sub>''n''</sub>(''D'') | 除第''k''行外其餘所有行都沒有元}, 

對於某個給定的''k''。換言之，如果''I''是一個最小左理想，則{{nowrap|1=''I'' = M<sub>''n''</sub>(''D'')''e''}}，其中''e''是一個[[幂等矩阵]]，在{{nowrap|(''k'', ''k'')}}元為1，在所有其他地方為0。此外，''D''與{{nowrap|''e''M<sub>''n''</sub>(''D'')''e''}}同構。左理想''I''可以視作{{nowrap|''e''M<sub>''n''</sub>(''D'')''e''}}上的右模。環{{nowrap|M<sub>''n''</sub>(''D'')}}與該模上同胚的代數同構。 

以上例子引出了下列引理： 

<blockquote>
'''引理：'''''A''是一個單位為1，冪等元素為''e''的環，其中{{nowrap|1=''AeA'' = ''A''}}。設''I''為左理想''Ae''，視作一個''eAe''上的右模。則''A''與''I''上同胚的代數同構，以''Hom''(''I'')表示。
</blockquote> 

<blockquote>
'''證明：'''我們使用{{nowrap|1=Φ(''a'')''m'' = ''am''}}定義「左規則表示」為{{nowrap|1=Φ : ''A'' → ''Hom''(''I'')}}，對於{{nowrap|''m'' ∈ ''I''}}。Φ是[[单射]]的，因為如果{{nowrap|1=''a'' ⋅ ''I'' = ''aAe'' = 0}}，則{{nowrap|1=''aA'' = ''aAeA'' = 0}}，暗示{{nowrap|1=''a'' = ''a'' ⋅ 1 = 0}}。 

對於[[满射]]，設{{nowrap|''T'' ∈ ''Hom''(''I'')}}。由於{{nowrap|1=''AeA'' = ''A''}}，元素1可以表達成{{nowrap|1=1 = Σ''a<sub>i</sub>eb<sub>i</sub>''}}。因此 

:''T''(''m'') = ''T''(1 ⋅ ''m'') = ''T''(Σ''a''<sub>''i''</sub>''eb''<sub>''i''</sub>''m'') = Σ ''T''(''a''<sub>''i''</sub>''eeb''<sub>''i''</sub>''m'') = Σ ''T''(''a''<sub>''i''</sub>''e'') ''eb''<sub>''i''</sub>''m'' = [Σ''T''(''a''<sub>''i''</sub>''e'')''eb''<sub>''i''</sub>]''m''. 

由於表達式[Σ''T''(''a''<sub>''i''</sub>''e'')''eb''<sub>''i''</sub>]不取決於''m''，Φ是滿射的。引理證畢。
</blockquote> 

從以上引理可以得出韋德伯恩定理。 

<blockquote>
'''定理'''（'''韋德伯恩'''）'''：'''如果''A''是一個有單位1和最小左理想''I''的環，則''A''與除環上{{nowrap|1=''n'' × ''n''}}矩陣的環同構。
</blockquote> 

證明''eAe''是一個除環，只需驗證引理的假設，即求一個冪等元素''e''使得{{nowrap|1=''I'' = ''Ae''}}。表明''A''是單環後可以得出{{nowrap|1=''A'' = ''AeA''}}這個假設。 

== 參考文獻 ==
* [[A. A. Albert]], ''Structure of algebras'', Colloquium publications '''24''', [[American Mathematical Society]], 2003, {{isbn|0-8218-1024-3}}.  P.37.
*{{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | title=Algèbre Ch. 8 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-3-540-35315-7 | year=2012}}
*{{cite journal | last1 = Henderson | first1 = D.W. | year = 1965 | title = A short proof of Wedderburn's theorem | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1965-04_72_4/page/385 | journal = Amer. Math. Monthly | volume = 72 | pages = 385–386 | doi=10.2307/2313499}}
*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=A First Course in Noncommutative Rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-95325-0 |mr=1838439 | year=2001 | doi=10.1007/978-1-4419-8616-0}}
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0387953854 |year=2002}}
* {{Citation | last1=Jacobson | first1=Nathan | author1-link=Nathan Jacobson | title=Basic algebra II | publisher=W. H. Freeman | edition=2nd | isbn=978-0-7167-1933-5 | year=1989}} 

[[分类:环论]]