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{{NoteTA|G1=Math|1=zh:雙射;zh-hans:双射;zh-hant:對射;zh-tw:雙射
|2=zh:單射;zh-hans:单射;zh-hant:嵌射;zh-tw:單射
|3=zh:滿射;zh-hans:满射;zh-hant:蓋射;zh-tw:滿射
}}
在数学定义中，'''单射'''、'''满射'''和'''双射'''是指根据其[[定义域]]和[[陪域]]的关联方式所区分的三类[[函数|映射]]。

*'''[[单射]]'''：指将不同的变量[[映射]]到不同的值的映射。
*'''[[满射]]'''：指[[陪域]]等于[[值域]]的映射。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
*'''[[双射]]'''（也称'''一一对应'''或'''一一映射'''）：既是[[单射]]又是[[满射]]的映射。直观地说，一个双射映射形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指'''双射'''，但是这里不用这个较老的用法。）

下图对比了四种不同的情况：
<div style="text-align: center;"><gallery>
File:Bijection.svg|雙射（單射與滿射）
File:Injection.svg|單射但非滿射
File:Surjection.svg|滿射但非單射
File:Total function.svg|非滿射非單射
</gallery></div>
__TOC__

==单射（one to one 或 injection）==
{{main|单射}}
[[File:Injective composition.svg|thumb|300px|单射复合:第二个映射不必是单射。]]
一个映射称为'''单射'''（'''一对一'''）如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上。等价的有，一个映射是单射如果它把不同值映射到不同像。一个单射映射简称'''单射'''。形式化的定义如下。

:映射<math>f: A \to B</math> 是[[单射]] [[当且仅当]]对于所有<math>a,b \in A</math>, 我们有<math>f(a) = f(b) \Rightarrow a = b.</math>

*一个映射<math>f: A \to B</math>是单射当且仅当<math>A</math>是空的或<math>f</math>是左可逆的，也就是说，存在一个映射<math>g: B \to A</math> 使得<math>g\circ f = A</math>上的恒等映射.
*因为每个映射都是满射当它的[[陪域]]限制为它的[[值域]]时，每个单射导出一个到它的值域的[[双射]]。更精确的讲，每个单射<math>f: A \to B</math>可以分解为一个双射接着一个如下的包含映射。令<math>f_{R}: A \to f(A)</math>为把陪域限制到像的 <math>i</math>，令 <math>i: f(A) \to B</math>为从<math>f(A)</math>到<math>B</math>中的包含映射.则<math>f = i\circ f_{R}</math>. 一个对偶的分解会对满射成立。
*两个单射的复合也是单射，但若<math>f\circ g</math>是单射，只能得出<math>g</math>是单射的结论。参看右图。

==满射（onto 或 surjection）==
{{main|满射}}

[[File:Surjective composition.svg|thumb|300px|满射复合：第一个映射不必为满射]]
一个映射称为'''满射'''（到上）如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说陪域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下：

:映射<math>f: A \to B</math>为[[满射]]，[[当且仅当]]对任意<math>b \in B</math>，存在<math>a \in A</math>满足<math>f(a) = b</math>。

* 映射<math>f:X\rightarrow Y</math>为一个满射，当且仅当存在一个映射<math>g:Y\rightarrow X</math>满足<math>f\circ g</math>等于<math>Y</math>上的单位映射。（这个陈述等同于[[选择公理]]。）
* 将一个满射的[[陪域]]中每个元素的[[函数#像和原像|原像]]集看作一个等价类，我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的[[商集]]）为定义域的一个[[双射]]。
* 如果<math>f</math>和<math>g</math>皆为满射，则<math>f\circ g</math>为满射。如果<math>f\circ g</math>是满射，则仅能得出<math>f</math>是满射。参见右图。

==双射（bijection）==
{{main|双射}}
[[File:Bijective composition.svg|thumb|300px|双射复合：第一个映射不必为满射、第二个映射不必为单射]]
既是单射又是满射的映射称为'''双射'''. 映射为双射[[当且仅当]]每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。

:映射<math>f: A \to B</math>为[[双射]][[当且仅当]]对任意<math>b \in B</math>存在唯一<math>a \in A</math>满足<math>f(a) = b</math>。

*映射''f'' : ''A'' &rarr; ''B''为双射当且仅当其可逆，即，存在映射''g'': ''B'' &rarr; ''A''满足''g'' o ''f'' = ''A''上的[[恒等函数|恒等映射]]，且''f'' o ''g''为''B''上的恒等映射。
*两个双射的[[复合函数|复合]]也是双射。如''g'' o ''f''为双射，则仅能得出''f''为单射且''g''为满射。见右图。

*同一集合上的双射构成一个[[对称群]]。

*如果<math>X,Y</math>皆为[[实数]]<math>\mathbb{R}</math>，则双射映射<math>f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math>可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）

===势===
双射映射经常被用于表明集合''X''和''Y''是等[[势 (数学)|势]]的，即有一样的[[基数 (数学)|基数]]。如果在两个[[集合 (数学)|集合]]之间可以建立一个[[一一对应]]，则说这两个集合等势。

如果<math>X,Y</math>皆为[[有限集合]]，则这两个集合中<math>X,Y</math>之间存在一个双射，[[当且仅当]]X和Y的[[元素]]数相等。其实，在[[公理集合论]]中，''元素-{}-数相同''的定义被认为是个特例，一般化这个定义到[[无限集合]]需要导入[[基数 (数学)|基数]]的概念，这是一个区别各类不同大小的[[无限集合]]的方法。

==例子==
对于每个映射给定[[定义域]]和[[陪域]]很重要，因为改变这些就能改变映射属于什么''射''。
[[File:GeLeiMappings.PNG|thumb|]]
===双射===
*任意集合上的[[恒等函数|恒等映射]]id为一双射。
*考虑映射<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>，定义为<math>f(x)=2x+1</math>。这个映射是双射，因为给定任意一个实数<math>y</math>，我们都能解<math>y=2x+1</math>，得到唯一的实数解<math>x=(y-1)/2</math>。
*[[指数函数|指数映射]] <math>\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x</math>及其逆映射[[自然对数]] <math>\ln : \mathbf{R}^+ \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}</math>。

===单射、但非满射===
* 指数映射<math>\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto \mathrm{e}^x</math>

===满射、但非单射===
* <math>\mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math>

===既非单射也非满射===
* <math>\mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto x^2</math>

==范畴论==
[[范畴论]]的[[单态射]]、[[满射|满态射]]和[[同构]]是单射、满射和双射概念的推广。在[[集合范畴]]中的[[单态射]]、[[满射|满态射]]和[[同构]]分别对应单射、满射和双射映射。

==参见==
*[[映射]]
*[[单射]]
*[[满射]]
*[[双射]]
*[[函数|映射]]
*[[內射模]]
*[[置换]]

[[Category:函数]]
[[Category:集合論基本概念|D]]
[[Category:数学关系]]