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'''单叶函数'''（{{lang|en|'''univalent function'''}}）是數學領域中的[[複分析]]對函數的一種分類，若一[[全純函數]]的定義域為[[複數平面]]中的一[[開集]]，而函數為[[单射]]函數，此函數即為单叶函数。

若<math>f</math>為一全純函數，且滿足下式

:<math>\forall x_1,x_2: x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)</math>

則<math>f</math>為单叶函数。

== 舉例 ==
任何由開集[[单位圆盘]]映射到本身的[[映射]]<math>\phi_a(z) =\frac{z-a}{1 - \bar{a}z}</math>（其中<math>|a|\le 1</math>）為单叶函数。

函數<math>f \colon z \mapsto 2z + z^2</math>在開單位圓盤內是单叶函数，因為<math>f(z) = f(w)</math>也就表示<math>f(z) - f(w) = (z-w)(z+w+2) = 0</math>，而第二個因式在開單位圓盤內都不為零，因此<math>z = w</math>，<math>f</math>是單射函數。

== 基本性質 ==
若<math>G</math>及<math>\Omega</math>為二個複數平面中的開集[[連通空間]]，且

:<math>f: G \to \Omega</math> 

是一個滿足<math>f(G) = \Omega</math>的單葉函數（有一對一的對應關係），則<math>f</math>導數恆不為0，<math>f</math>可逆，而且其[[逆元素]]<math>f^{-1}</math>也是全純函數。依[[链式法则]]可得到下式：

:<math>(f^{-1})'(f(z)) = \frac{1}{f'(z)}</math>

對所有<math>G.</math>中的複數<math>z</math>皆成立。 

==和實函數的比較==
[[解析函數|實解析函數]]和全純函數不同，上述的性質在實解析函數中不成立，考慮以下的實數函數：

:<math>f: (-1, 1) \to (-1, 1) \, </math> 

而''&fnof;''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>。此函數也是单射函數，但在''x''&nbsp;=&nbsp;0處其導數為0，其逆元素在&nbsp;(&minus;1,&nbsp;1)區間中也不都是解析函數，也不完全可微。

若將定義域擴展到複數平面內，原點附近的開放子集<math>G</math>內，上述函數就不是单射函數了，例如<math>f(\varepsilon \omega) = f(\varepsilon) </math>（其中<math>\omega </math>是[[单位根|三次單位根]]，而<math>\varepsilon</math>是小於<math>G</math>半徑的正實數）。

== 參考資料 ==
* John B. Conway. ''Functions of One Complex Variable  I''. Springer-Verlag, New York, 1978.  ISBN 0-387-90328-3.
* John B. Conway. ''Functions of One Complex Variable II''. Springer-Verlag, New York, 1996.   ISBN 0-387-94460-5.

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