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在[[数学]]中，'''[[单参数群|单参数]][[酉群]]的斯通定理'''是[[泛函分析]]的一个基本定理，建立了[[希尔伯特空间]] <math>\mathcal{H}</math> 上[[强算子拓扑|强连续]][[单参数群|单参数]][[酉群]]与该空间上的某个[[自伴算子]]的一一对应关系。具体来说，单参数酉群是指[[幺正算子]]构成的单参数族 <math>(U_{t})_{t \in \R}</math> ，且 <math>t\mapsto U_t</math>是一个[[连续函数 (拓扑学)|连续]][[群同態]]，所谓强连续是指

: <math>\forall t_0 \in \R, \psi \in \mathcal{H}: \qquad \lim_{t \to t_0} U_t(\psi) = U_{t_0}(\psi).</math>

该定理由{{Harvard citations|txt|authorlink=Marshall Stone|first=Marshall|last=Stone|year1=1930|year2=1932}}证明，而 {{Harvard citations|txt|authorlink=John von Neumann|first=John|last=von Neumann|year1=1932}} 表明，至少当希尔伯特空间是[[可分空间|可分]]的， <math>(U_t)_{t \in \R}</math> 的强连续性可以放宽为[[弱可测函数|弱可测]]。

这是一个令人印象深刻的结果，因为它允许人们定义[[映射]] <math>t \mapsto U_t</math> 的导数，而该映射仅仅需要是[[连续函数|连续]]的。它也与[[李群]]和[[李代數|李代数]]的理论有关。

== 正式表述 ==

{{Math theorem
| name = 定理<ref>{{Harvnb|Hall|2013}} Theorem 10.15</ref>
| math_statement = 设 <math>(U_t)_{t \in \R}</math> 是一个[[紧算子|强连续的]]单参数酉群。那么存在一个唯一的（可能是[[无界算子|无界]]的）[[自伴算子]] <math>A: \mathcal{D}_A \to \mathcal{H}</math>  满足 <math display="block">\forall t \in \R : \qquad U_t = e^{itA}.</math>
<math>A</math> 的定义域 <math>\mathcal{D}_A \subseteq \mathcal{H}</math> 定义为 <math display="block">\mathcal{D}_A = \left \{ \psi \in \mathcal{H} \left | \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i}{\varepsilon} \left(U_{\varepsilon} (\psi) - \psi \right) \text{ exists} \right. \right \}.</math>

反过来，设 <math>A: \mathcal{D}_A \to \mathcal{H}</math> 是一个 <math>\mathcal{D}_A \subseteq \mathcal{H}</math> 上的（可能无界的）自伴算子，并定义单参数的幺正算子族 <math>(U_{t})_{t \in \R}</math> 为 <math display="block">\forall t \in \R, \quad U_{t} := e^{itA},</math> 则其构成一个强连续的单参数群。
}}

在定理的两个部分中，表达式 <math>e^{itA}</math> 是通过[[博雷尔函数演算]]来定义的，它用到了无界[[自伴算子]]的[[谱定理]]。

=== 无穷小生成元 ===

上述定理中的算子 <math>A</math> 被称为 <math>(U_{t})_{t \in \R}</math> 的'''无穷小生成元'''。此外， <math>A</math> 有界当且仅当映射 <math>t \mapsto U_{t}</math> 是[[范数]]连续的。

强连续酉群 <math>(U_{t})_{t \in \R}</math> 的无穷小生成元 <math>A</math> 可以用下面的式子来计算：

: <math>A\psi = -i\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{U_\varepsilon\psi-\psi}{\varepsilon},</math>

其中， <math>A</math> 的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量 <math>\psi</math> 组成。也就是说， <math>A</math> 等于 <math>-i</math> 乘以 <math>U_t</math> 关于 <math>t</math> 在 <math>t=0</math> 处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即 <math>A</math> 是一个[[稠定算子|稠密定义]]的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的，因为 <math>U_t</math> 仅被假设具有（关于时间的）连续性，而不必可微。

== 例子 ==
平移算子族

: <math>\left[ T_t(\psi) \right](x) = \psi(x + t)</math>

是一个由酉算子构成的单参数酉群；其无穷小生成元是一个空间上的微分算子

: <math>-i \frac{d}{dx}</math>

的一个{{Le|对称算子的扩张|Extensions of symmetric operators|扩张}}，该空间由 <math>\R</math> 上连续可微的[[支撑集|紧支撑]]复值函数构成。因此

: <math>T_{t} = e^{t \frac{d}{dx}}.</math>

换句话说，直线上的运动是由[[動量算符|动量算子]]生成的。

== 应用 ==
斯通定理在[[量子力学]]中有着广泛的应用。例如，给定一个孤立的量子力学系统，其状态的希尔伯特空间为 <math>\mathcal{H}</math> ，其[[時間演化算子|时间演化]]则是 <math>\mathcal{H}</math> 上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的[[哈密顿算符|哈密顿算子]]。

== 基于傅里叶变换的表述 ==
斯通定理可以用[[傅里叶变换]]的语言来重述。实轴 <math>\R</math> 是一个[[局部紧阿贝尔群]]。{{Le|局域紧群的群代数|Group algebra of a locally compact group|群C*-代数}} <math>C^*(\R)</math> 的非退化[[*-表示]]与 <math>\R</math> 的强连续[[幺正表示]]（即强连续的单参数酉群）一一对应。另一方面，傅里叶变换是 <math>C^*(\R)</math> 到 <math>C_0(\R)</math> 的[[*-同态]]，其中 <math>C_0(\R)</math> 是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的[[C*-代数]]。因此，强连续单参数酉群与  <math>C_0(\R)</math> 的*-表示之间存在一一对应关系。由于 <math>C_0(\R)</math> 的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下：

* 设 <math>(U_{t})_{t \in \R}</math> 是 <math>\R</math> 在[[希尔伯特空间]] <math>\mathcal{H}</math> 上的强连续幺正表示。
* 积分此酉表示以产生 <math>C^*(\R)</math> 在 <math>\mathcal{H}</math> 上的非退化*-表示 <math>\rho</math> 。即，先定义<math display="block">\forall f \in C_c(\R): \quad \rho(f) := \int_{\R} f(t) U_{t} dt,</math>再将 <math>\rho</math> [[连续扩张]]到整个 <math>C^*(\R)</math> 。
* 使用傅里叶变换获得 <math>C_0(\R )</math> 在 <math>\mathcal{H}</math> 上的非退化的 *-表示 <math>\tau</math> 。
* 根据[[里斯-马尔可夫-角谷表示定理]]， <math>\tau</math> 给出 <math>\R</math> 上的一个[[投影值测度]]，而其是唯一的（可能无界的）[[自伴算子]] <math>A</math> 的[[单位分解 (谱理论)|单位分解]]。
* 于是， <math>A</math> 就是 <math>(U_{t})_{t \in \R }</math> 的无穷小生成元。

<math>C^*(\R)</math> 的精确定义如下。考虑 <math>\R</math> 上的紧支撑连续复值函数，通过由[[卷积]]给出其乘法，其构成一个[[*-代数]] <math>C_c(\R)</math> 。这个 *-代数关于[[Lp范数|L1范数]]可[[完备化]]为一个[[巴拿赫代数|巴拿赫]]*-代数，记作 <math>(L^1(\R),\star)</math> 。于是 <math>C^*(\R)</math> 就被定义为 <math>(L^1(\R),\star)</math> 的'''包络<math>C^*</math>''' -'''代数''' ，即 <math>(L^1(\R),\star)</math> 相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是，傅里叶变换是 <math>C^*(\R)</math> 与 <math>C_0(\R)</math>  间的一个同构。这个方向的一个结果是[[黎曼-勒贝格定理|黎曼-勒贝格引理]]，它指出傅里叶变换将 <math>L^1(\R)</math> 映射到 <math>C_0(\R)</math> 。

== 推广 ==
[[斯通-冯诺伊曼定理]]将斯通定理推广到满足[[正则对易关系]]的一<u>对</u>自伴算子 <math>(P,Q)</math> 上，并证明它们都与 <math>L^2(\R)</math> 上的[[位置算符]]和[[動量算符|动量算符]]幺正等价。

{{Le|希尔-吉田定理|Hille–Yosida theorem}}将斯通定理推广到[[巴拿赫空间]]上的强连续单参数[[压缩算子|压缩]]半群。

== 引注 ==
{{Reflist}}

== 参考书目 ==

* {{Citation|last=Hall|first=B.C.|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267|year=2013|publisher=Springer|bibcode=2013qtm..book.....H|isbn=978-1461471158}}
* {{Citation|last=von Neumann|first=John|title=Über einen Satz von Herrn M. H. Stone|publisher=Annals of Mathematics|language=German|series=Second Series|year=1932|journal=[[Annals of Mathematics]]|issn=0003-486X|volume=33|number=3|pages=567–573|jstor=1968535|doi=10.2307/1968535}}
* {{Citation|last=Stone|first=M. H.|title=Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory|publisher=National Academy of Sciences|year=1930|journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|issn=0027-8424|volume=16|number=2|pages=172–175|jstor=85485|doi=10.1073/pnas.16.2.172|pmc=1075964|pmid=16587545|bibcode=1930PNAS...16..172S}}
* {{Citation|first=M. H.|last=Stone|title=On one-parameter unitary groups in Hilbert Space|journal=Annals of Mathematics|volume=33|number=3|pages=643–648|year=1932|jstor=1968538|doi=10.2307/1968538}}
* K. Yosida, ''Functional Analysis'', Springer-Verlag, (1968)
{{泛函分析}}
[[Category:泛函分析定理]]