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在[[数学]]中，一个'''单参数群'''（{{lang|en|one-parameter group}}）或称'''单参数子群'''（{{lang|en|one-parameter subgroup}}）通常表示从[[实数]] '''R'''（作为[[加法群]]）到另一个[[拓扑群]] ''G'' 的一个[[连续 (拓扑学)|连续]][[群同态]]

:φ : '''R''' → ''G''.

这意味着它严格说来其实不是一个[[群]]；如果 φ 是[[单射]]，则其像 φ('''R''') 是 ''G'' 的一个同构于加法群 '''R''' 的子群。这就是说，我们只知道

:φ (''s'' + ''t'') = φ(''s'')φ(''t'')

其中 ''s'', ''t'' 是群在 ''G'' 中的参数。我们可能有

:φ(''s'') = ''e'', ''G'' 中的[[单位元]]，
对某个 ''s'' ≠ 0 成立。譬如 ''G'' 是[[圆群|单位圆]]是这可能发生，且

:φ(''s'') = ''e''<sup>''is''</sup>.

在这种情形，φ 的[[核 (代数)|核]]由 2π 乘以整数组成。

一个单参数群在一个集合上的[[作用 (群论)|作用]]称为[[流 (数学)|流]]。

一个技术复杂性在于 φ('''R''') 作为 ''G'' 的[[子空间]]的拓扑可能比 '''R''' 上的要[[细拓扑|粗糙]]；这在 φ 是单射时可能发生。譬如考虑当 ''G'' 是一个[[环面]] ''T''，φ 是沿着一个[[无理数|无理]]斜率缠绕的直线。

所以一个单参数群或单参数子群需区别于一个群或一个子群自身，有三个原因：
#它有一个确定的[[参数化]]，
#群同态可能不是单射，
#诱导拓扑可能不是实线上的标准拓扑。

这样的单参数群在[[李群]]理论具有基本重要性，其中相伴的[[李代数]]中每一个元素定义了这样一个同态，[[指数映射]]。在[[矩阵群]]的情形，它由[[矩阵指数]]给出。

另一个重要情形出现于[[泛函分析]]，''G'' 是一个[[希尔伯特空间]]中的[[酉算子]]。参见[[单参数酉群的斯通定理]]。

[[鲍尔·科恩]]（{{lang|en|Paul Cohn}}）在其1957年专题论文《李群》中58页，给出如下定理：
:任何连通一维李群解析同构于实数加法群 <math> \mathfrak{R}</math> 或实数模 1 加法群 <math> \mathfrak{T}</math>。特别地，任何一位李群局部同构于 '''R'''。

==物理==
在[[物理]]中，单参数子群描述了[[动力系统]]。<ref>Zeidler, E. ''Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications''. Springer-Verlag, 1995.</ref> 而且，只要一个物理定律系统满足一个单参数群[[可微]][[对称群|对称]]，则根据[[诺特定理]]有一个[[守恒定律|守恒量]]。

在[[狹義相對論]]裏，[[快度]]參數可以用來幫助比較或區別幾個不同的[[慣性參考系]]。在相對論的[[運動學]]理論和[[動力學]]理論裏，快度替代了[[速度]]的地位。由於快度是[[有界集合|無界的]]，快度的單參數群是[[緊緻性|非緊緻的]]。快度的概念是由 ({{lang|en|Alfred Robb}}) 於 1911 年提出，是十九世紀[[四元數|雙曲正規化四元量]] ({{lang|en|hyperbolic versor}}) 概念的重新包裝。{{lang|en|James Cockle}} 、[[威廉·金頓·克利福德]] 、{{lang|en|Alexander Macfarlane}} ，這幾位數學物理學家，都曾經在他們的作品中，使用過一個等價的[[直角坐標系|笛卡兒平面]][[映射]]。這映射的[[算子]]是個[[雙曲複數]]：
:<math>\cosh a+r\sinh a\,\!</math> ；

其中，<math>a\,\!</math> 是雙曲正規化四元量，<math>r r=+1\,\!</math> 。

請注意，<math>r\,\!</math> 與[[虛數單位]]類似。但是，<math>r\,\!</math> 不是虛數單位。並且， <math>r\ne \pm 1\,\!</math> 。

== 参见 ==
* [[积分曲线]]
* {{tsl|en|One-parameter semigroup|单参数半群}}
* [[诺特定理]]

==参考文献==
<references/>

[[Category:李群]]
[[Category:一]]
[[Category:拓扑群]]