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[[File:Imaginary log analytic continuation.png|thumb|[[复对数]]的虚部。在<math>\mathbb{C}\backslash \{0\}</math>上定义复对数，会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群，以及<math>\mathbb{C}\backslash \{0\}</math>的[[螺旋曲面]]（[[黎曼曲面]]之一）覆盖。]]

[[数学]]中，'''单值性'''（monodromy）研究的是[[数学分析]]、[[代数拓扑]]、[[代数几何]]与[[微分几何]]中的对象在“绕着[[奇点 (数学)|奇点]]旋转”时的行为。这个领域同[[覆叠空间|覆叠映射]]及其到[[分歧 (数学)|分歧]]的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单值性的[[函数]]。可以定义'''单值群'''来测量单值性的失效，这是一[[群]]作用于数据的变换，编码了在单一维度上绕行时发生的情况。单值性的缺乏，有时称作多值性（polydromy）。<ref name="König2015">{{cite book|last1=König|first1=Wolfgang|last2=Sprekels|first2=Jürgen|title=Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work|date=2015|publisher=Springer-Verlag|isbn=9783658106195|pages=200–201|url=https://books.google.com/books?id=7IHDCgAAQBAJ&q=Karl+Weierstra%C3%9F+(1815%E2%80%931897)|access-date=2017-10-05|language=de}}</ref>

==定义==
令''X''是连通且底[[局部连通]]的[[拓扑空间]]，基点为''x''，并令<math>p: \tilde{X} \to X</math>为[[覆叠空间|覆叠映射]]，其[[纤维 (数学)|纤维]]为<math>F = p^{-1}(x)</math>。对以''x''为基的[[环圈]]<math>\gamma:\ [0,\ 1]\to X</math>，记从点<math>\tilde{x} \in F</math>开始的覆叠映射下的[[同伦提升|提升]]为<math>\tilde{\gamma}</math>。最后，用<math>\tilde{x} \cdot \tilde{\gamma}</math>表示端点<math>\tilde{\gamma}(1)</math>，一半与<math>\tilde{x}</math>不同。有定理指出，这种构造给出了[[基本群]]<math>\pi_1(X,\ x)</math>在''F''上的良定义的[[群作用]]，<math>\tilde{x}</math>的[[群作用#不動點與穩定子群|稳定子]]恰是<math>p_*\left(\pi_1\left(\tilde{X}, \tilde{x}\right)\right)</math>，即当且仅当元素<math>[\gamma]</math>由<math>\tilde{X}</math>中以<math>\tilde{x}</math>为基的环圈的像表示时，才会固定''F''中的一个点。这种作用叫做'''单值作用'''，对应的[[群同态]]<math>\pi_1(X,\ x)\to {\rm Aut}(H_*(F_x))</math>映射到''F''上的[[自同构群]]，就是'''代数单值性'''。这同态的像就是'''单值群'''。还有一个映射<math>\pi_1(X,\ x)\to{\rm Diff}(F_x)/{\rm Is}(F_x)</math>，其像是'''拓扑单值群'''。

==例子==
这些观点首次明确阐述是用[[复分析]]的语言。在[[解析延拓]]的过程中，在穿孔复平面<math>\mathbb{C} \backslash \{0\}</math>的某开子集''E''中的[[解析函数]]<math>F(z)</math>可连续映射回''E''，但值不同。例如，取

: <math>\begin{align}
F(z) &= \log(z) \\
E &= \{z\in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)>0\}
\end{align}</math>

然后逆时针绕圆

: <math>|z| = 1</math>

进行解析延拓，将导致返回的不是<math>F(z)</math>而是

: <math>F(z) + 2\pi i</math>

这时，单值群是无限[[循环群]]，覆叠空间是穿孔复平面的万有覆叠，可以形象理解为[[螺旋曲面]]，并有<math>\rho>0</math>的约束。覆叠映射是一个垂直投影，从某种意义上说显然地折叠了螺旋，得到穿孔平面。

==复数域微分方程==
一个重要应用是解[[微分方程]]，当中单解可通过[[解析延拓]]得到更多线性独立解。复平面中开连通集''S''上定义的线性微分方程拥有单值群，更精确地说是''S''[[基本群]]的[[线性表示]]，概括了''S''中所有环圈的解析延拓。在给定表示的情况下构造方程（具有[[正则奇点]]）的逆问题称作[[黎曼–希尔伯特问题]]。

对于正则（特别是富克斯）线性系统，常常选择与环圈相应的算子<math>M_j</math>作为单值群的生成子，当中每个环圈逆时针绕过系统的一个极点。若指标''j''在顺时针绕过极点时从1增加到p+1，则生成子之间的唯一关系是<math>M_1\cdots M_{p+1}=\operatorname{id}</math>。德利涅–辛普森问题是以下实现问题：对<math>{\rm GL}(n,\ \mathbb{C})</math>中的哪些共轭类元组，存在来自这些类的满足上式的矩阵<math>M_j</math>的不可约元组？[[皮埃尔·德利涅]]与卡洛斯·辛普森第一个得到了问题的解。Vladimir Kostov提出并讨论了富克斯系统残差问题的加性版本。除了<math>{\rm GL}(n,\ \mathbb{C})</math>外，其他学者也考虑过在矩阵群上的问题。<ref>{{Citation|author=V. P. Kostov|title=The Deligne–Simpson problem — a survey|journal=J. Algebra|volume=281|year=2004|issue=1|pages=83–108|mr=2091962|doi=10.1016/j.jalgebra.2004.07.013|arxiv=math/0206298|s2cid=119634752}} and the references therein.</ref>

==拓扑与几何角度==
在覆叠映射的情形下，我们将其视为[[纤维化 (数学)|纤维化]]的特例，并利用[[同伦提升]]特性“追踪”基空间''X''上的路径（简单起见假定其是[[连通空间#道路连通，弧连通|径连通]]的），因为它们可提升到覆叠''C''中。若沿着''X''中以''x''为基的环圈绕行，并将其提升到''x''上方的''c''处开始，则将在''x''上方的某个''c*''处结束。''c''&nbsp;≠&nbsp;''c*''完全是可能的，为编码这种情况，可将[[基本群]]<math>\pi_1(X,\ x)</math>的作用视为所有''c''的集合上的[[置换群]]，此时就是单值群。

微分几何中，[[平行移动]]起类似作用。在[[光滑流形]]''M''上的[[主丛]]''B''中，[[联络]]允许从''M''上的''m''之上的纤维“水平”移动到相邻的纤维。当应用于以''m''为基的环圈时，其效果是定义了''m''处纤维平移的[[完整群]]；若''B''的结构群是''G''，则它就是''G''的一个子群，衡量了''B''与积丛<math>M\times G</math>的偏差。

===单值广群与叶状结构===
[[File:Monodromy action.svg|thumb|upright=0.3|在总空间中有提升基中路径的路径。沿着这些路径推进，就能得到基本广群的单值作用。]]
与[[基本广群]]类似，可以绕过基点的选择，定义单值广群。此处考虑纤维化<math>p:\tilde X\to X</math>的基空间''X''中的路径的提升（的同伦类），结果具有基空间''X''上的[[广群]]结构。这样做的好处是，我们可以放弃''X''的连通性条件。

此外，这个构造还可推广到[[叶状结构]]：考虑<math>(M,\mathcal{F})</math>是''M''的（可能奇异的）叶状结构。则对于<math>\mathcal{F}</math>的叶中的每条路径，都可考虑其在过端点的局部横截面上的诱导微分同胚。若回到端点周围的微分同胚的[[芽 (数学)|芽]]，则前述微分同胚在单连通坐标图中是唯一的，尤其是在不同横截面之间。这样，在单连通坐标图中，它也变得与路径（固定端点间）无关，因此在同伦下不变。

==伽罗瓦理论定义==
记<math>\mathbb{F}(x)</math>为变量''x''在'''F'''[[域 (数学)|域]]上的[[有理函数]]域，'''F'''也是[[多项式环]]<math>\mathbb{F}[x]</math>的[[分式环|分式域]]。元素<math>f(x)=y\in \mathbb{F}(x)</math>决定了一个有限[[域扩张]]<math>[\mathbb{F}(x):\ \mathbb{F}(y)]</math>。

这个扩张一般不是伽罗瓦的，但有[[分裂域#性质|伽罗瓦闭包]]<math>L(f)</math>。扩张<math>[L(f):\ \mathbb{F}(y)]</math>的相关[[伽罗瓦群]]称作''f''的单值群。

在<math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>的情形下，[[黎曼曲面]]理论允许上述几何解释。扩张<math>[\mathbb{C}(x),\ \mathbb{C}(y)]</math>已经伽罗瓦的情形下，相关单值群有时被称作[[覆叠映射|甲板变换群]]（deck transformation）。

这与导致[[黎曼存在定理]]的[[格罗滕迪克伽罗瓦理论|复叠空间伽罗瓦理论]]有关。

==另见==
* [[辫群]]
* [[单值理论]]
* [[映射类群]]

==注释==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{springer|author=V. I. Danilov|title=Monodromy|id=M/m064700}}
* "Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
* R. Brown [http://groupoids.org.uk/topgpds.html Topology and Groupoids] {{Wayback|url=http://groupoids.org.uk/topgpds.html |date=20230429173341 }} (2006).
* P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html TAC Reprint] {{Wayback|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html |date=20181006200431 }}
* H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1

[[Category:数学分析]]
[[Category:复分析]]
[[Category:微分几何]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同伦论]]