查看“︁单位群”︁的源代码

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{{expert|time=2012-04-29}}

在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对[[乘法]]可构成一个乘法[[群]]，叫环的'''单位群'''。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的[[素理想]]，[[分式理想]]，[[理想类群]]来[[度量]]。

整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于[[循环群]]C<sub>2</sub>。模n 的剩余类环Z<sub>''n''</sub>单位群记为U（Z<sub>n</sub>）。仅有U（Z<sub>3</sub>），U（Z<sub>4</sub>），U（Z<sub>6</sub>），U（Z<sub>8</sub>），U（Z<sub>12</sub>），U（Z<sub>24</sub>）非单位元的阶均为2；非单位元的阶均为其他[[素数]]p（p > 2）的单位群不存在。

==单位==
[[算术基本定理]]说明Z环的乘法结构为：每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对O<sub>K</sub>的理想的唯一分解对一部分理想正确，不能全正确是因为±1，因为整数1和-1是Z环的[[可逆元素]]（即[[单位 (环论)|单位]]，两者组成一个乘法群叫单位群，记为Z<sup>×</sup>，是个2阶[[循环群]]）。更普遍的是，在O<sub>K</sub>的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群，记为O<sup>×</sup>，群素元称为O<sub>K</sub>的单位，这个群比2阶[[循环群]]Z×[[階 (群論)|阶]]大。由[[狄利克雷单位定理]]可得：单位群是交换群。更确切的有[[伽罗瓦]][[模]]形式：
:O<sub>K</sub> <math>\simeq</math> Z<sup>⊕r</sup>⊕（有限循环群）。
有限循环群即为K的单位群O<sup>×</sup>。[1]
O<sub>K</sub>单元群的[[階 (群論)|阶]]大小，O<sub>K</sub>的[[格子|格]]结构，[[类数]]公式可以求出。

==例子==
{{Untranslated-jargon|time=2012-04-29}}
由在线[[GNU]]项目[[sagemath]].org可容易看出2次域[[单位 (环论)|单位]]的[[判别式]]、[[类数]]、[[因子分解]]等各种情况。
:Q7:=QuadraticField(-11);Q7;
:O7:=MaximalOrder(Q7);O7;
:Discriminant(Q7) ;
:ClassGroup(Q7);
:a:=O7!5;a;
:aa:=O7!500;aa;
:Factorization(a);
:Factorization(aa);
:Q17:=QuadraticField(17);Q17;
:FundamentalUnit(Q17);
:Discriminant(Q17) ;
:ClassGroup(Q17);


:Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field
:Maximal Order of Q7
:-11
:Abelian Group of order 1
:Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7
:5
:500
:[ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]
:<-1, 0>
:[ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]
:<-1, 0>
:Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field
:-Q17.1 + 4
:17
:Abelian Group of order 1
:Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17

==参考链接==
{{refbegin|2}}
*{{cite journal | url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-NGZK201104016.htm | title=模n的剩余类环的单位群U(Z_n) | author=居腾霞, 王立周 | journal=南通大学学报(自然科学版) | date=2011年4月 | access-date=2012-04-21 | archive-date=2016-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160304091010/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-NGZK201104016.htm }}
{{refend}}

[[Category:数论]]
[[Category:代数数论]]