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[[File:Vector norms.svg|frame|right|一些单位球]]
[[数学]]上，'''单位[[球面]]'''是到固定中心点[[距离]]为1的点的集合，其中距离可以是任何推广了的距离概念。'''单位[[球 (数学)|球]]'''是单位球面所包围的区域。通常一个特定的点被表示为所研究的空间的[[原点]]，并且单位球面或单位球通常以该点为中心。因此通常单位球或者单位球面就是指以原点为中心的单位球或球面。

单位球面就是[[半径]]1的[[球面]]。单位球的重要之处是任何球面可以通过[[平移]]和[[缩放]]的组合来变换为单位圆。这样一般情况的球的属性可以归约到对于单位球的研究。

== 欧氏空间的单位球 ==

''n''维欧氏空间中，单位球面是所有满足如下方程的点<math>x_1, \cdots, x_n</math>的集合

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1</math>

而闭单位球是所有满足如下不等式的点的集合

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1.</math>

=== 一般的面积和体积公式 ===

''n''-维欧氏空间的单位球体积，和单位球面的面积，出现在很多数学分析的公式中。''n''维空间中的单位球面的表面积，经常记为<math>\omega_n</math>，可以用[[Γ函数]]表示。它是

:<math>\omega_n = \frac{2 \pi ^ \frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>.

单位球的体积则是<math>\frac{\omega_n}{n}</math>.

== 赋范向量空间中的单位球 ==

精确一点的说，[[赋范向量空间]]<math>V</math>中的'''开单位球'''，设[[范数]]为<math>\|\cdot\|</math>，由下式表示

:<math> \{ x\in V: \|x\|<1 \}</math>. 

它位于<math>(V,\left \Vert \cdot \right \Vert)</math>中的'''闭单位球'''的[[内部]]，

:<math> \{ x\in V: \|x\|\le 1\}</math>.

后者是前者和它们的公共[[边界]]<math>(V,\left \Vert \cdot \right \Vert)</math>的'''单位球面'''的[[不交并集]]，

:<math> \{ x\in V: \|x\| = 1 \}</math>. 

=== 讨论 ===

单位球的''形状''完全取决于所选的范数；它可能有''角''，例如它可以看起来象<math>[-1,1]^n</math>，也就是在选取<math>R^n</math>中的范数<math>l_\infty</math>的情况。''圆球''可以理解为一般的[[希尔伯特空间]]范数的情况，在有限维的情况中依赖于[[欧氏距离]]；它的边界就是通常所指的单位球面。

== 推广 ==
=== 度量空间 ===
上面的三个定义都可以直接推广到[[度量空间]]中相对于某个原点的相应概念。但是，拓扑上的考虑（内部，闭包，边界）不一定可以同样的推广（例如，在超度量空间，所有三者同时是即开且闭集合），而单位球在某些度量空间甚至可能是空集。

=== 二次型 ===
若<math>V</math>是有实[[二次型]]<math>F:V\rightarrow R</math>的[[线性空间]]，则<math>\{x\in V:F(x)=1\}</math>有时称为<math>V</math>的'''单位球面'''。二维的例子有[[双曲复数]]和[[对偶数]]。当<math>F</math>可以取负值时，则<math>\{x\in V:F(x)=-1\}</math>称为'''反球面'''。

== 参看 ==

* [[单位圆]]
* [[单位正方形]]
* [[单位圆盘]]
* [[球面]]
* [[球 (数学)]]
* [[数学符号表]]

[[Category:泛函分析|D]]
[[Category:度量几何|D]]
[[Category:范数|D]]
[[Category:一]]

[[es:1-esfera]]