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[[File:3rd roots of unity.svg |thumb|right|复平面上的三次单位根]] 
[[数学]]上，'''<math>\,n\,</math>次單位根'''是<math>\,n\,</math>次[[冪]]為[[1]]的[[复数 (数学)|複數]]。它們位於[[复平面]]的[[单位圆]]上，構成[[正多边形]]的[[頂點 (幾何)|頂點]]，但最多只可有兩個頂點同時標在[[實數線]]上。

==定义==

:<math>z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots  )</math>

这方程的複數根 <math>z \,</math>為'''<math>n \,</math>次單位根'''。

單位的 <math>n \,</math>次根有 <math>n \,</math>個：

:<math>e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)</math>。

==本原根==

單位的 <math>n \,</math>次根以乘法構成<math>n</math>階[[循環群]]。它的生成元是 <math>n \,</math>次'''本原'''單位根。<math>n \,</math>次本原單位根是<math>e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }</math>，其中<math>k\,</math>和<math>n\,</math>[[互質]]。<math>n\,</math>次本原單位根數目為[[歐拉函數]]<math>\varphi (n)</math>。
全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

==例子==

一次單位根有一個: <math>1 \,</math>。

二次單位根有兩個: <math>1\,</math>和<math>-1\,</math>，只有<math>-1\,</math>是本原根。

[[立方根|三次单位根]]是

:<math>\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,</math>
其中<math>{i}</math>是[[虚數單位]]；除<math>1\,</math>外都是本原根。

四次單位根是

:<math>\left\{ 1, i, -1, -i \right\} ,</math>

其中<math>i</math>和<math>-i</math>是本原根。

==和式==

當<math>n\,</math>不小於<math>2\,</math>时，<math>n\,</math>次單位根總和為<math>0\,</math>。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是[[等比級數]]：

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0</math>。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這[[多邊形]]的[[几何中心|重心]]在[[原點]]。
:
還有一個證法利用關於方程根與係數的[[韋達定理]]，由分圓方程的<math>x^{n-1}\,</math>項係數為零得出。

{{代數數}}
[[Category:一]]

[[Category:代數數|D]]
[[Category:多項式|D]]
[[Category:分圓域]]
[[Category:複數|D]]