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{{not|单位元}}
[[File:Unit_circle.svg|alt=Unit circle|right|thumb|186px|单位圆。变量<math>t</math>是[[角]]度]]

在[[数学]]中，'''单位圆'''（{{lang-en|Unit circle}}）是指[[半径]]为[[单位數字|单位]]长度的[[圆]]，通常为[[欧几里得平面]][[直角坐标系]]中[[圆心]]为<math>(0,0)</math>、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和[[复数 (数学)|复数]]的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为''S''<sup>1</sup>。多维空间中，单位圆可推广为[[单位球]]。

如果单位圆上的点<math>(x,y)</math>位于第一[[象限]]，那么<math>x</math>与<math>y</math>是[[斜边]]长度为1的[[直角三角形]]的两条边，根据[[勾股定理]]，<math>x</math>与<math>y</math>满足[[方程]]：

:<math>x^2 + y^2 = 1 \,\!</math>

由于对于所有的''<math>x</math>''来说<math>x^2 = (-x)^2</math>，并且所有这些点相对于''x''轴或者''y''轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

==单位圆与三角函数==
事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—[[正弦]]（sin）、[[餘弦]]（cos）、[[正切]]（tan）、[[餘切]]（cot）、[[正割]]（sec）、[[餘割]]（csc）以及不常用的[[正矢]]（versin）和其[[正矢#相關函數|相關函數]]、[[外正割]]（exsec）、[[外餘割]]（excsc）和歷史上曾存在的[[弦函數]]（crd）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于<math>\frac{\pi}{2}</math>时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的[[实数]]角度，这些函数都有直观的意义。

[[File:Unit-circle_sin_cos_tan_cot_exsec_excsc_versin_vercos_coversin_covercos.svg|right|thumb|350px|角度 <math>\theta</math> 的''所有''三角函数都可以在圆心为<math>O</math>的单位圆上表示出来]]

*[[正弦函数]]与[[余弦函数]]可以用如下方法定义。

设<math>(x,y)</math>是单位圆上的一个点。设角<math>t</math>的起始边为''x''轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角''t''的终边和单位圆会有一个交点。因此：

:<math>\cos(t) = x \,\!</math>
:<math>\sin(t) = y \,\!</math>

另外，从<math>x^2 + y^2 = 1</math>可以得到

:<math> \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!</math>

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是[[周期函数]]，对于任意的[[整数]]<math>k</math>有[[恒等式]]

:<math>\cos t = \cos(2\pi k+t) \,\!</math>
:<math>\sin t = \sin(2\pi k+t) \,\!</math>

[[File:Unit_circle_angles.svg|thumb|300px|单位圆上已知準確座標的点]]

这些恒等式的依据是在角度 ''<math>t</math>'' 增加任意圈数或者减小任意圈数的时候''x''与''y''坐标保持不变。一圈<math>=2\pi</math> [[弧度]]。

==复数的圆群==
[[复数 (数学)|复数]]也可以用欧几里得平面内的点来表示，<math>a+bi</math> 表示为<math>(a,b)</math>。在这种表示下，单位圆是不断增加的[[群]]，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

==参见==
*[[三角函数]]
*[[角]]
*[[单位球]]
*[[单位正方形]]
*[[单位圆盘]]
*[[圆群]]

[[Category:三角学]]
[[Category:圆]]
[[Category:一]]