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'''協態方程'''（costate equation）和[[最优控制]]中用到的狀態方程有關<ref>{{cite book |first=Morton I. |last=Kamien |first2=Nancy L. |last2=Schwartz |title=Dynamic Optimization |location=London |publisher=North-Holland |edition=Second |year=1991 |isbn=0-444-01609-0 |pages=126–27 |url=https://books.google.com/books?id=0IoGUn8wjDQC&pg=PA126 }}</ref><ref>{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Optimization by Vector Space Methods |location=New York |publisher=John Wiley & Sons |year=1969 |isbn= |page=263 |url=https://books.google.com/books?id=lZU0CAH4RccC&pg=PA263 }}</ref>，也稱為'''輔助方程'''、'''伴隨方程'''、'''影響方程'''或是'''乘數方程'''。協態方程是[[向量]]一階常[[微分方程]]

:<math>
\dot{\lambda}^{\mathsf{T}}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}
</math>
其中等式的右邊為[[哈密頓量_(最佳控制)|哈密頓量]]（<math>H</math>）對狀態變數[[偏导数]]的負值。

== 解釋 ==
協態變數<math>\lambda(t)</math>可以解釋為狀態方程相關的[[拉格朗日乘数]]。狀態方程表示最小化問題中的限制條件，協態變數則是違反這些條件的[[边际成本]]，在經濟學中協態變數即為[[影子价格]]<ref>{{cite book |first=Akira |last=Takayama |title=Mathematical Economics |location= |publisher=Cambridge University Press |year=1985 |page=621 |url=https://books.google.com/books?id=j6PLOBFotPQC&pg=PA621 }}</ref>。

== 求解 ==
狀態方程和初始條件有關，會從起始時間開始，往後求解。協態方程和[[边值问题|邊界條件]]有關，需從最終時間開始，往前求解。進一步的細節可參考[[庞特里亚金最小化原理]]<ref>{{tsl|en|I. Michael Ross||Ross, I. M.}} ''A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control'', Collegiate Publishers, 2009. {{ISBN|978-0-9843571-0-9}}.</ref>。

== 相關條目 ==
* {{tsl|en|Adjoint equation|伴隨方程}}
* [[伴随向量映射原理]]
* [[拉格朗日乘数]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:最佳控制]]
[[Category:变分法]]