查看“︁协方差”︁的源代码

{{noteTA
|T= zh-cn:协方差; zh-tw:共變異數; zh-hk:協方差;
|G1=Math
}}

在[[機率論]]與[[統計學]]中，'''共變異數'''（{{lang-en|Covariance}}）用於衡量[[随机变量]]間的相關程度。
{{各地漢字名
|t=1
|名詞= Covariance
|cn=协方差
|hk=協方差
|tw=共變異數
|where=日本、韓國
|other={{lang|ja|共分散}}
}}

[[File:Covariance_trends.svg|thumb|兩變數X與Y在3種不同的共變異數情況下的關係]]

== 定義 ==
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
設 <math>\Omega</math> 為[[样本空间]]， <math>P</math> 是定義在 <math>\Omega</math> 的[[Σ-代数|事件族]] <math>\Sigma</math> 上的[[機率空間#定義|機率]]。（換句話說， <math>(\Omega,\,\Sigma,\, P)</math> 是個[[機率空間]]）

若 <math>X</math> 与 <math>Y</math> 是定義在 <math>\Omega</math> 上的兩個[[实数]][[随机变量]]， [[期望值]]分别为：

: <math>\operatorname{E}(X)
= \int_{\Omega} X \,dP
= \mu</math>

: <math>\operatorname{E}(Y)
= \int_{\Omega} Y \,dP
=\nu  </math>
則兩者間的'''协方差'''定义为：

: <math>\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}[(X - \mu) (Y - \nu)]</math>
}}

根據[[勒貝格積分|測度積分]]的線性性質，上面的原始定義可以進一步簡化為：

: <math>\begin{align}
\operatorname{cov}(X, Y)
&= \int_{\Omega}(X - \mu) (Y - \nu)\,dP \\
&= \int_{\Omega} X \cdot Y\, dP - \mu \int_{\Omega} Y \,dP - \nu \int_{\Omega} X \,dP + \mu\nu \\
&= \operatorname{E}(X \cdot Y) - \mu\nu
\end{align} </math>
== 协方差矩阵 ==
协方差的定義可以推廣到兩列隨機變數之間

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
設 <math>(\Omega,\,\Sigma,\, P)</math> 是[[機率空間]]， <math>X = \{x_i\}^{m}_{i=1}</math> 与 <math>Y = \{y_j\}^{n}_{j=1}</math> 是定義在 <math>\Omega</math> 上的兩列[[实数]][[随机变量]][[序列]]（也可視為[[有序对]]或[[矩阵#行向量與列向量|行向量]]）

若二者对应的期望值分别为：

: <math>E(x_i)
= \int_{\Omega} x_i \,dP
= \mu_i</math>

: <math>E(y_j)
= \int_{\Omega} y_j \,dP
= \nu_j</math>
則这两列隨機变量间的'''协方差'''定义成一個 <math>m\times n</math> [[矩阵]]

: <math>\operatorname{\mathbf{cov}}(X, Y)
:= {\left[\,\operatorname{cov}(x_i, y_j)\,\right]}_{m \times n} 
</math>
}}

以上的定義，以矩形來表示就是：
: <math>\operatorname{\mathbf{cov}}(X, Y)
:=
\begin{bmatrix}
 \operatorname{cov}(x_1, y_1) & \dots & \operatorname{cov}(x_1, y_n) \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \operatorname{cov}(x_m, y_1) & \dots & \operatorname{cov}(x_m, y_n)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 
 \operatorname{E}(x_1 y_1)-\mu_1\nu_1 & \dots & \operatorname{E}(x_1 y_n)-\mu_1\nu_n \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \operatorname{E}(x_m y_1)-\mu_m\nu_1 & \dots & \operatorname{E}(x_m y_n)-\mu_m\nu_n
\end{bmatrix} </math>
== 性質 ==

=== 統計獨立 ===
{{Math theorem|math_statement=若隨機變數 <math> X </math> 和  <math> Y </math>  是相互[[独立_(概率论)#獨立隨機變量|独立]]的，則
:<math> \operatorname{cov}(X, Y) = 0</math>}}

=== 計算性質 ===
如果<math>X</math>与<math>Y</math>是实数随机变量，<math>a</math>与<math>b</math>是常数，那么根据协方差的定义可以得到：

: <math>\operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)</math>，
: <math>\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)</math>，
: <math>\operatorname{cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{cov}(X, Y)</math>，

对于随机变量序列<math>X_1, \ldots, X_n</math>与<math>Y_1, \ldots, Y_m</math>，有

: <math>\operatorname{cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) =  \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{cov}\left(X_i, Y_j\right)}}</math>，

对于随机变量序列<math>X_1, \ldots, X_n</math>，有

:<math>\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} \operatorname{cov}(X_i,X_j)</math>。

== 相關係數 ==
{{main|皮尔逊积矩相关系数}}取决于协方差的[[相關 (概率論)|相关性]]<math>\eta</math>
: <math> \eta =  \dfrac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X) \cdot \operatorname{var}(Y)}} \ ,</math>
更准确地说是线性相关性，是一个衡量线性独立的[[无量纲]]数，其取值在<math>[-1,1]</math>之间。相关性<math>\eta=1</math>时称为“完全线性相关”（相关性<math>\eta=-1</math>时称为“完全线性负相关”），此时将<math>Y_i</math>对<math>X_i</math>作Y-X [[散点图]]，将得到一组精确排列在直线上的点；相关性数值介于－1到1之间时，其绝对值越接近1表明线性相关性越好，作散点图得到的点的排布越接近一条直线。

相关性为0（因而协方差也为0）的两个随机变量又被称为是[[相關 (概率論)|不相关]]的，或者更准确地说叫作“线性无关”、“线性不相关”，这仅仅表明<math>X</math>与<math>Y</math>两随机变量之间没有线性相关性，并非表示它们之间一定没有任何内在的（非线性）函数关系，和前面所说的“<math>X</math>、<math>Y</math>二者并不一定是统计独立的”说法一致。

== 参见 ==
* [[變異數]]
* [[自协方差]]
* [[协方差矩阵]]
* [[协方差函数]]
* [[误差传播]]

{{統計學}}

[[Category:协方差与相关性]]