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{{noteTA
|T=zh-hans:共变导数; zh-hant:協變導數;
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[[数学]]上，'''共变导数'''或称'''-{zh-hans:协变导数; zh-hant:共變導數;}-'''是在流形上定义沿着[[向量场]]的[[导数]]的方法之一。

事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和[[联络]]没有实质上的区别。

在[[黎曼流形|黎曼]]和[[伪黎曼流形]]理论中，共变导数通常指[[列維-奇維塔聯絡]]。

这里，我们给出一个向量相对于[[向量场]]的共变导数(也称为'''张量导数''')的传统的带指标记号的简介；[[张量]]的共变导数是同一概念的推广。

本条目中，我们使用[[爱因斯坦记号]]。我们假设读者熟悉[[微分流形]]的概念特别是关于[[切向量]]的概念。

== 一般概念 ==

向量'''u'''的沿着向量'''v'''的'''共变导数''' <math>\nabla</math> (也写作'''D''')是一个定义第三个称为<math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> (也作 '''D<sub>v</sub>u''')的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同([[共变变换]])，所以有这个名字。

在[[欧几里得空间]]的情形，如果有一个[[标准正交基|标准正交]]坐标系，一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数。

在这样的系统中，[[平移]]其中一个向量到另一个的原点，保持和原来的向量平行。这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数。

但是在一般情况，我们必须把坐标系的变化考虑在内。在弯曲空间中，例如地球表面（作为一个球面），[[平移]]没有严谨的定义，而和它相似的概念，[[平行移动]]，依赖于向量被平移的路径。例如，在二维欧几里得平面[[极坐标]]中，导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何“转动”。在其他的情况下，还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转，交织，等等。

<div style="float:left;  padding:3px; margin-right: 1em; 
text-align:left"> 
</div>这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数 ''t'' 的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系<math>({\mathbf e}_r, {\mathbf e}_{\theta})</math>中，其中<math>{\mathbf e}_r</math> 和 <math>{\mathbf e}_{\theta}</math>是极坐标中的单位切向量，用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍后，极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动。[[基向量]]的共变导数（克里斯托费尔符号可以表达这个变化）。

(可能最好不要把t看作时间参数，至少在[[广义相对论]]的应用中不要这样。它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化。）
{{clear}}

<div style="float:left;  padding:3px; margin-right: 1em; 
text-align:left">  
<!-- 檔案不存在 [[File:parallel_transport_on_globe.png|在球面上的平行移动]] -->
</div>另一个例子:向量'''e'''在球上位于赤道上的一点Q，方向朝北。假设我们首先沿着赤道[[平行移动]]该向量直到P（然后保持它和自己平行））着子午线把它拖到北极N然后（保持方向）继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然后我们注意到沿着封闭回路平行移动的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向。这在欧氏空间不会发生，它发生的原因是球的曲面上的''曲率''。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回，我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。
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=== 备注 ===

定义中的向量 '''u''' 和 '''v ''' 是定义在同一点 ''p'' 的。而且共变导数<math>\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u} </math>也是 ''p'' 的一个向量。 

共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为[[列维-奇维塔联络]]。

导数的性质暗示者<math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math>依赖于''p''周围的情况，就像标量函数在一点''p''沿着曲线的导数依赖于''p''点周围一样。

在共变导数中关于点 ''p'' 围的信息可以用来定义向量的[[平行移动]]。而且[[曲率]]，[[挠率]]和[[测地线]]也可以只用共变导数来定义。

偶尔，术语“共变导数”指一个一般[[向量丛]]沿着基空间的一个[[切向量]]的[[纤维丛#截面|截面]]的导数；参看[[联络形式#向量丛|“联络形式”中的“向量丛”]]的有关章节。

== 形式化定义 ==

=== 函数 ===

给定流形<math>M</math>上一点<math>p</math>和其上一个实函数<math>f</math>， <math>f</math>在<math>p</math>点沿<math>\mathbf{v}</math>的共边导数是一个定义在<math>p</math>处的标量，记为<math>(\nabla_{\mathbf v}f)_p</math>，<math>(\nabla_{\mathbf v}f)_p</math>等于实函数<math>f</math>在<math>p</math>处沿向量'''v'''方向的通常导数，<math>\nabla_{\mathbf v}f</math>也可以记为<math>{\mathbf v}f</math> 或者<math>df({\mathbf v})</math>。

=== 向量场 ===

向量场<math>{\mathbf u}</math> 在向量<math>{\mathbf v} </math>方向的'''共变导数''' <math>\nabla</math>记为<math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> 对任意向量场 '''u, v, w''' 和标量函数''f''和''g''由下列性质定义:
# <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> 对于<math>{\mathbf v}</math> 代数式线性所以<math>\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}</math>
# <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> 对于<math>{\mathbf u}</math>可加，所以<math>\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}</math>
# <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> 遵守[[乘积法则]]， 也就是说 <math>\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f</math> 其中<math>\nabla_{\mathbf v}f</math> 如前所定义。

注意<math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math>在点''p''依赖于'''v'''在''p''点的值以及'''u'''在''p''的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

=== 餘向量場 ===

给定[[餘切空間|餘向量]]场(或者说[[1-形式]]) <math>\alpha</math>，其共变导数 <math>\nabla_{\mathbf v}\alpha</math> 可以用下边的对于所有向量场'''u'''都满足的恒等式来定义
:<math>\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).</math>
餘向量场沿着一个向量场'''v'''的共变导数还是一个餘向量场。

=== 张量场 ===

一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可以定义到任一[[张量]]场上，这要用如下的恒等式，其中<math>\varphi</math>和<math>\psi</math>是任意两个张量:
:<math>\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),</math>
并且，若<math>\varphi</math>和<math>\psi</math>是同一个张量丛的张量场，则
:<math>\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.</math>
沿着向量场'''v'''的共变导数也还是同类型的张量场。

== 坐标表示 ==

给定坐标函数<math>x^i,\ i=0,1,2,...</math>，任何[[切向量]]都可以用它的在基<math>e_i={\partial\over\partial x^i}</math>中的分量表示。 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γ<sup>k</sup>'''e'''<sub>''k''</sub>，其中Γ<sup>k</sup> 是分量（参看[[爱因斯坦记号]])。 
要给定共变导数，给定每个基向量场'''e'''<sub>''j''</sub> 沿着'''e'''<sub>''i''</sub>的共变导数就可以了
:<math> \nabla_{{\mathbf e}_i} {\mathbf e}_j =  \Gamma^k {}_{i j} {\mathbf e}_k,</math> 
系数<math>\Gamma_{i j}^k</math>称为'''[[克里斯托费尔符号]]'''。
然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场 <math>{\mathbf v}= v^ie_i</math> and <math>{\mathbf u}= u^ie_i</math> 可以得到
:<math> \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} = (v^i u^j \Gamma^k {}_{i j}+v^i{\partial u^k\over\partial x^i}){\mathbf e}_k,</math> 
这个公式的第一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转"，而第二项代表了向量场''u''的分量的变化。特别的有
:<math>\nabla_{{\mathbf e}_j} {\mathbf u}=\nabla_j {\mathbf u} = \left( \frac{\partial u^i}{\partial x^j} + u^k \Gamma^i {}_{jk} \right) {\mathbf e}_i  </math>
用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。

一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作::
:<math>
          \nabla_j {\mathbf v} \equiv v^i {}_{;j} \;\;\;\;\;\;
          v^i {}_{;j}  = 
          v^i {}_{,j} + v^k\Gamma^i {}_{k j}
</math>
这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到 <math> v^i {}_{,j}</math>，而且是通过<math> v^k\Gamma^i {}_{k j}</math>依赖于向量'''v'''本身的。

== 相關條目 ==
* [[联络]]
* [[联络形式]]
* [[列維-奇維塔聯絡]]
* [[克里斯托費爾符號]]

[[Category:微分几何|G]]
[[Category:黎曼几何|G]]