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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:实轴; zh-tw:貫軸;
|2 = zh-cn:虚轴; zh-tw:共軛軸;
}}
[[File:Ellipse semi-major and minor axes.svg|thumb|upright=1.2|橢圓的半長軸 ('''a''') 和[[半短軸]]  ('''b''')。]]
{{航天动力学}}

'''半長軸'''是[[幾何學]]中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是[[長軸]]，半長軸为長軸的一半，一般描述橢圓的最長的[[直徑]]。

== 橢圓 ==
橢圓的方程式是:

{{block indent|<math>\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1,</math>}}

其中(''h'',&nbsp;''k'')是[[笛卡尔坐标系]]中[[橢圓]]的中心，其中任意點由(''x'',&nbsp;''y'')給出。

半長軸是橢圓距焦點的最大和最小距離<math>r_\text{max}</math>和<math>r_\text{min}</math>的平均值— 即從焦點到長軸端點的距離

{{block indent|<math>a = \frac{r_\text{max} + r_\text{min}}{2}.</math>}}

在[[天文學]]中，這些極值點稱為[[拱點]]。

一個[[橢圓]]的[[長軸]]是內部最長的直徑，會通過中心和兩個[[焦點]]，末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中，半長軸就是半徑。

半長軸的長度 <math>a\!</math> 與[[半短軸]] <math>b\,\!</math> 的關係可以經由[[離心率]]<math>e\,\!</math>和[[半正焦弦]]<math>\ell\,\!</math>推導如下：

:<math>b = a \sqrt{1-e^2}\,\!</math>
:<math>\ell=a(1-e^2)\,\!</math>.
:<math>a\ell=b^2\,\!</math>.

[[抛物線]]可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但<math>\ell\,\!</math>仍保持不變。因此<math>a\,\!</math>和<math>b\,\!</math>趨於無限大，<math>a\,\!</math>仍比<math>b\,\!</math>長。

半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在[[极坐标系|極座標]]中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在''x''軸上，

:<math>r(1-e\cos\theta)=l\,\!</math>.
均值由<math>r={\ell\over{1+e}}\,\!</math>和<math>r={\ell\over{1-e}}\,\!</math>，是 <math>a={\ell\over{1-e^2}}\,\!</math>.

== 雙曲線（又称半实轴） ==
[[雙曲線]]的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果''a''是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：

<math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1</math>

在這個項目中的[[半正焦弦]]和[[離心率]]如下：

<math>a={\ell\over e^2-1 }</math>

雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致<ref>{{Cite web |url=http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html |title=7.1 Alternative Characterization |accessdate=2008-01-19 |archive-date=2018-10-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181024103231/http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html |dead-url=yes }}</ref>。

== 天文學 ==
=== 軌道週期 ===
[[File:solar_system_orbital_period_vs_semimajor_axis.svg|thumb|upright=1.25|某些太陽系軌道（十字表示開普勒值）的軌道週期 T 與半長軸 a（遠日點和近日點的平均值）的雙對數圖，顯示''a''<sup>3</sup>/''T''<sup>2</sup>是常數（綠線）]]

在[[太空動力學]]，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的[[軌道週期]]<math>T</math>，是：

:<math>T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}</math>

此處：
:<math>a</math>，是軌道的半長軸
:<math> \mu</math>是[[標準重力參數]]

無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的[[軌道週期]]。

在[[天文學]]，是[[轨道 (力学)|軌道]]的[[軌道根數|軌道元素]]中最重要的，他決定了軌道週期。對[[太陽系]]內的天體，半長軸與軌道週期的關係由[[克卜勒行星運動定律|克卜勒第三定律]]（原本只是經驗公式）來描述：

:<math>T^2 \propto a^3</math>，

此處T是週期，單位為[[年]]；a是半長軸，單位為[[天文單位|AU]]。這個形式就是[[牛頓]]的[[二體問題]]簡化後的形式：

:<math>T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3</math>，

此處G是[[重力常數]]，M是中心天體的[[質量]]，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。

值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著[[質心]]運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。

=== 平均距離 ===
經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。

* 對[[偏近點角]]（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。
* 對[[真近點角]]（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道[[半短軸]]：<math>b = a \sqrt{1-e^2}\,\!</math>。

* 最後，是對[[平近點角]]（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：<math>a(1 + \frac{e^2}{2})\,\!</math>。

橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為<math>\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}\,\!</math>。

時間的平均值與半徑成反比，<math>r^{-1}\,\!</math>，是<math>a^{-1}\,\!</math>。

=== 能量：由狀態向量的半長軸計算 ===
在[[太空動力學]]半長軸<math>a </math>，可以從[[軌道狀態向量]]得到：

<math> a = { - \mu \over {2\epsilon}}</math>（橢圓軌道）

<math> a = {\mu \over {2\epsilon}}</math>（雙曲線彈道）

<math> \epsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} </math>（[[特殊軌道能量]]）

<math> \mu = GM </math>（[[標準重力參數]]）

此處：
* <math> v</math>，是從[[軌道狀態向量#速度向量|速度向量]]得到的軌道上物體的軌道速度，
* <math> \mathbf{r }</math>，是在[[笛卡尔坐标系]]上、相對於[[軌道狀態向量#位置向量|位置向量]]用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準），
* <math> G </math>，是[[重力常數]]，
* <math> M </math>，是中心天體的質量。

對特定的中心天體和總[[比能]]，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，具有的總比能是一個定值。

== 例子 ==
[[國際太空站]]的[[軌道週期]]是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里。

== 外部連結 ==
* [http://www.mathopenref.com/ellipsesemiaxes.html Semi-major and semi-minor axes of an ellipse]{{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/ellipsesemiaxes.html |date=20120402072557 }} With interactive animation

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

{{軌道}}

[[Category:軌道]]
[[Category:圓錐曲線]]