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在[[數學分析]]中，'''半連續性'''是實值[[函數]]的一種性質，分成'''上半連續'''與'''下半連續'''，半連續性較[[連續函數|連續性]]弱。

== 形式定義 ==
設 <math>X</math> 為[[拓撲空間]]，<math>x_0 \in X</math>，而 <math>f: X \to \R</math> 為實值[[函數]]。若對每個 ε > 0 都存在 <math>x_0</math> 的開鄰域 <math>U</math> 使得 <math>\forall x \in U, \; f(x) < f(x_0) + \varepsilon</math>，則稱 <math>f</math> 在 <math>x_0</math> '''上半連續'''。該條件也可以用[[上極限]]等價地表述：
:<math>\limsup_{x \to x_{0}} f(x) \leq f(x_{0})</math>
若 <math>f</math> 在 <math>X</math> 上的每一點都是上半連續，則稱之為'''上半連續函數'''。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在 <math>x_0</math> 的開鄰域 <math>U</math> 使得 <math>\forall x \in U, \; f(x) > f(x_0) - \varepsilon</math>，則稱 <math>f</math> 在 <math>x_0</math> '''下半連續'''。用[[下極限]]等價地表述為：
:<math>\liminf_{x \to x_{0}} f(x) \geq f(x_{0})</math>
若 <math>f</math> 在 <math>X</math> 上的每一點都是下半連續，則稱之為'''下半連續函數'''。

拓撲[[基 (拓撲學)|基]] <math>]-\infty, a[ \;\;(a \in \R)</math> 賦予實數線 <math>\R</math> 較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 <math>]a, +\infty[ \;\;(a \in \R)</math>，則得到下半連續函數。

== 例子 ==
[[File:Upper_semi.png|thumb|right|上半連續但不是下半連續函數的例子（藍點表 <math>f(x_0)</math>）]]

考慮函數
: <math>f(x) = \begin{cases} -1 &, x < 0 \\ 1 &, x \geq 0 \end{cases}</math>
此函數在 <math>x_0=0</math> 上半連續，而非下半連續。

[[File:Lower_semi.png|thumb|right|下半連續但不是上半連續连续的函数的例子（藍點表 <math>f(x_0)</math>）]]

下整數函數 <math>f(x)=\lfloor x \rfloor</math> 處處皆上半連續。同理，上整數函數 <math>f(x)=\lceil x \rceil</math> 處處皆下半連續。

== 性質 ==
一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若 <math>f, g</math> 在某一
點上半連續，則 <math>f+g</math> 亦然；若兩者皆非負，則 <math>fg</math> 在該點也是上半連續。若 <math>f</math> 在一點上半連續，則 <math>-f</math> 在該點下半連續，反之亦然。

若 <math>X</math> 為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。

設 <math>f_n</math> 為下半連續函數序列，而且對所有 <math>x \in X</math> 有
: <math>f(x) = \sup_n f_n(x) < +\infty</math>
則 <math>f</math> 是下半連續函數。

開集的[[指示函數]]為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。

== 文獻 ==
* {{cite book
 | last       = Gelbaum
 | first      = Bernard R.
 | coauthors  = Olmsted, John M.H. 
 | title      = Counterexamples in analysis
 | url       = https://archive.org/details/counterexamplesi0000gelb
 | publisher  = Dover Publications 
 | date       = 2003
 | pages      = 
 | isbn       = 0486428753
}}

* {{cite book
 | last       = Hyers
 | first      = Donald H.
 | coauthors  = Isac, George; Rassias, Themistocles M.  
 | title      = Topics in nonlinear analysis & applications
 | publisher  = World Scientific
 | date       = 1997
 | pages      = 
 | isbn       = 9810225342 
}}

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