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在[[數學]]中，特別[[抽象代數]]裏的[[群論]]中，'''半直積'''（{{lang-en|semidirect product}}）是從其中一個是[[正規子群]]的兩個[[子群]]形成一個[[群]]的特定方法。半直積是[[直積]]的推廣。半直積是作為集合的[[笛卡爾積]]，但帶有特定的乘法運算。

== 内半直积 ==

=== 定义 ===

令 <math>G</math> 为群， <math>N</math> 为 <math>G</math> 的一个[[正规子群]]， <math>H</math> 是 <math>G</math> 的一个[[子群]]。下列命题等价:
* <math>G = NH</math> 且 <math>N \cap H = \{e\}</math> （ <math>e</math> 是 <math>G</math> 的[[單位元]]）
* <math>G</math> 的每个元素可以唯一表示為 <math>H</math> 的一个元素和 <math>N</math> 的一个元素的积
* 自然的嵌入 <math>H \rightarrow G</math> , 和自然的投影 <math>G \rightarrow G/N</math> 的复合是 <math>H</math> 和 <math>G/N</math> 之间的[[群同构|同构]]
* 存在[[群同态|同态]] <math>G \rightarrow H</math> ，它的像是 <math>H</math> 本身而其[[核 (代数)|核]]是 <math>N</math>。
 
如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称 <math>G</math> 是一个 <math>N</math> 和 <math>H</math> 的'''内半直积'''，或者说 <math>G</math> 在 <math>N</math> 上“分裂(splits)”，并写作 <math>G = N \rtimes H</math>。

=== 基本事实 ===

若 <math>G</math> 是其正规子群 <math>N</math> 和子群 <math>H</math> 的内半直积，而且 <math>N</math> 和 <math>H</math> 都是有限的，则 <math>G</math> 的[[階 (群論)|阶]]等于 <math>N</math> 和 <math>H</math> 的阶的乘積。

與[[直积]]不同，内半直积通常不是唯一的。令 <math>G</math> 和 <math>G'</math> 為包含 <math>N</math> 为正规子群，并且都包含 <math>H</math> 为子群的兩個群，而且二者都是 <math>N</math> 和 <math>H</math> 的内半直积， <math>G</math> 與 <math>G'</math> '''未必'''[[群同構|同构]]。

== 外半直积 ==

=== 定义 ===

给定任意两个群''N''和''H''（不必是某个群的子群）和一个[[群同态]]&phi; : ''H'' &rarr; Aut(''N'')(其中Aut(''N'')表示''N''的所有[[群同構#自同構|自同构]]组成的群)，我们定义如下的一个新群''N'' ⋊<sub>&phi;</sub> ''H''，称作''N''和''H'''''相对于&phi;'''的'''外半直积''':

基础的集合是集合[[直积]] ''N'' &times; ''H''，而群運算*给定为
:(''n''<sub>1</sub>, ''h''<sub>1</sub>) * (''n''<sub>2</sub>, ''h''<sub>2</sub>) = (''n''<sub>1</sub> &phi;(''h''<sub>1</sub>)(''n''<sub>2</sub>), ''h''<sub>1</sub> ''h''<sub>2</sub>)
对于所有''N''中的''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub> 和''H''中的''h''<sub>1</sub>, ''h''<sub>2</sub>。这确实定义了一个群；其幺元为(''e''<sub>''N''</sub>, ''e''<sub>''H''</sub>)，而元素(''n'', ''h'')的逆为(&phi;(''h''<sup>–1</sup>)(''n''<sup>–1</sup>), ''h''<sup>–1</sup>)。

=== 基本事实 ===

''N'' &times; {''e''<sub>''H''</sub>}是同构于''N''的正规子群, {''e''<sub>''N''</sub>} &times; ''H''是同构于''H''的子群，而''N'' ⋊<sub>&phi;</sub> ''H''是这两个子群的内半直积。

若''G''是一个''N''和''H''的内半直积，令映射&phi; : ''H''&rarr;Aut(''N'')为如下同态
:&phi;(''h'')(''n'')=''hnh''<sup>–1</sup>
则''G''同构于外半直积''N'' ⋊<sub>&phi;</sub> ''H''，该同构把乘积''nh''映到2元组(''n'',''h'')。在''G''中,我们有如下规则
:(''n''<sub>1</sub>''h''<sub>1</sub>)(''n''<sub>2</sub>''h''<sub>2</sub>) = ''n''<sub>1</sub>(''h''<sub>1</sub>''n''<sub>2</sub>''h''<sub>1</sub><sup>–1</sup>)(''h''<sub>1</sub>''h''<sub>2</sub>)
而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。

群的[[分裂引理]]（splitting lemma）的一个版本称群''G''同构于两个群''N''和''H''的外半直积当且仅当存在[[正合序列|短正合序列]]

:<math> 0\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!u}\ \, G \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!v}\ \,  H \longrightarrow 0</math>

和一个群同态''r'' : ''H'' &rarr; ''G'' 使得''v'' o ''r'' = id<sub>''H''</sub>, ''H''上的[[恒等映射]]。在这种情况, 给出&phi; : ''H'' &rarr; Aut(''N'')如下
:&phi;(''h'')(''n'') = ''u''<sup>–1</sup>(''r''(''h'')''u''(''n'')''r''(''h''<sup>–1</sup>)).

== 例子 ==

有 2''n''个元素的[[二面體群]] ''D''<sub>''n''</sub> 同构于[[循环群]]''C''<sub>''n''</sub> 和''C''<sub>2</sub>的半直积。这里，''C''<sub>2</sub>的非单位元作用于''C''<sub>''n''</sub>，将元素变成其逆；这是一个自同构因为''C''<sub>''n''</sub>是[[交换群]]。

平面的刚体运动群(映射''f'' : '''R'''<sup>2</sup> &rarr; '''R'''<sup>2</sup> 使得''x''和''y''之间的欧氏距离等于''f''(''x'') 和''f''(''y'')之间的距离对于所有在'''R'''<sup>2</sup>中的''x''和''y''成立)同构于交换群'''R'''<sup>2</sup> (描述平移)和[[正交]] 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在'''R'''<sup>2</sup>上，并且是一个[[自同构]]。

所有正交''n''×''n''矩阵的群O(''n'')(直观的讲，所有''n''维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO(''n'') (所有[[行列式]]值为1的正交矩阵，直观的讲''n''维空间的转动的集合)和''C''<sub>2</sub>的准直积。如果我们将''C''<sub>2</sub>表示为矩阵{''I'', ''R''}的乘法群,其中''R''是''n''维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵),则&phi; : ''C''<sub>2</sub> &rarr; Aut(SO(''n'')) 由&phi;(''H'')(''N'') = ''H'' ''N'' ''H''<sup>–1</sup>对所有 在''C''<sub>2</sub>中的''H'' 和SO(''n'')中的''N''给出。

== 与直积的关系 ==

假设''G''是一个正规子群''N''和子群''H''的内半直积。若''H''也在''G''中正规，或者说，若存在一个同态''G'' &rarr; ''N''是''N''上的恒等映射，则''G''是''N''和''H''的[[直积]]。

两个群''N''和''H''的直积可以视为''N''和''H''相对于&phi;(''h'') = id<sub>''N''</sub> (对于所有''H''中的''h'')的外半直积。

注意在直积中，因子的次序不重要，因为''N'' &times; ''H''同构于''H'' &times; ''N''。这在半直积中不成立，因为两个因子的角色不同。

== 推广 ==

半直积的构造可以推得更广。在[[环理论]]中有一个版本，[[环的交叉积]]（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的[[群环]]，这可以很自然的看出。还有[[李代数]]的[[半直和]]。给定[[拓扑空间]]上的一个[[群作用]]，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的''轨道空间''有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候，例如在[[阿兰·孔涅]]的工作中（细节请参见[[非交换几何]]）。

在[[范畴论]]中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。

== 参看 ==
* [[圈积]](Wreath product)

[[Category:群论|B]]
[[Category:二元运算]]