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在[[模論]]中，一個[[環 (代數)|環]] <math>A</math> 上的左[[模 (數學)|模]] <math>M</math> 若可表為[[單模]]的直和，便稱 <math>M</math> 為'''半單模'''。

本條目中的環皆有乘法單位元素 <math>1</math>。對於右模，相應的陳述依然成立。

==等價定義==
以下陳述彼此等價：
* <math>M</math> 是單模的和。
* <math>M</math> 是其單子模的和。
* 對每個子模 <math>N \subset M</math>，存在子模 <math>N' \subset M</math> 使得 <math>M = N \oplus N'</math>。

==性質==
* 若 <math>M</math> 是半單模，則其子模與商模亦然。
* 若 <math>M_i</math> 是半單模，則 <math>\bigoplus_i M_i</math> 亦然。

==半單環==
藉由環的乘法運算，每個環 <math>A</math> 都可視為左（或右） <math>A</math>-模。若 <math>A</math> 是半單 <math>A</math>-模，則稱 <math>A</math> 為'''半單環'''。可以證明：環 <math>A</math> 是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為[[諾特環]]與[[阿廷環]]。

半單環的角色之一，在於半單環 <math>A</math> 上的模都是半單模，而且任何單左模都可嵌入 <math>A</math> 中，成為其極小左理想。這遂大大便利了對 <math>A</math>-模結構的研究。

對於非交換環，[[單環]]未必是半單環，儘管術語上引人如此聯想。

==例子==
* 若 <math>k</math> 為[[域 (數學)|域]]、<math>G</math> 為 <math>n</math> 階[[有限群]]，則[[群代數]] <math>k[G]</math> 半單的充要條件是 <math>k</math> 的特徵不整除 <math>n</math>。此結果是有限群[[表示理論]]的基石。
* Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構：一個環 <math>A</math> 半單若且唯若它同構於 <math>M_{n_1}(D_1) \times \cdots M_{n_r}(D_r)</math>，其中每個 <math>D_i</math> 皆為[[除環]]、<math>M_{n_i}(D_i)</math> 表示 <math>D_i</math> 上的 <math>n_i \times n_i</math> [[矩陣]]代數。
* 設 <math>V</math> 為域 <math>k</math> 上之有限維[[向量空間]]，<math>A \in \mathrm{End}(V)</math>。則 <math>V</math> 是[[多項式環]] <math>k[X]</math> 上的左模，結構由 <math>f(X) \cdot v := f(A)v</math> 給出。此時 <math>V</math> 半單的充要條件是 <math>A</math> 在[[代數閉包]] <math>\bar{k}</math> 上[[可對角化矩陣|可對角化]]。

==文獻==
* N. Bourbaki, ''Algèbre commutative'' (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
* R.S. Pierce. ''Associative Algebras''. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
* T.Y. Lam. ''A First Course in Non-commutative Rings''. Graduate Texts in Mathematics vol 131.

[[Category:模論|B]]