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在[[數學]]中，'''單李代數'''是除了零和本身之外沒有其它理想的[[李代數]]。'''半單李代數'''是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為'''約化李代數'''。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。

設 <math>\mathfrak{g}</math> 為李代數，其半單性有下述刻劃：
* <math>\mathfrak{g}</math> 能表為單李代數之直和。
* Killing 形式 <math>B(x,y) := \mathrm{Tr}(\mathrm{ad}X \, \mathrm{ad}Y)</math> 非退化。
* <math>\mathfrak{g}</math> 沒有非零的阿貝爾理想。
* <math>\mathfrak{g}</math> 沒有非零的可解理想。
* <math>\mathrm{rad}(\mathfrak{g}) = (0)</math>

此外，若 <math>\mathfrak{g}</math> 定義在零特徵的域上，則可追加一項
* <math>\mathfrak{g}</math> 半單若且唯若每個 <math>\mathfrak{g}</math> 的[[李代數的表示|表示]]都是完全可約的。

半單李代數的另一個重要性質是 <math>[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}</math>，其逆未必成立。

==文獻==
* Erdmann, Karin & Wildon, Mark. ''Introduction to Lie Algebras'', 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
* Varadarajan, V. S. ''Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations'', 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

==參見==
*[[半單]]
*[[單李群]]
*[[半單李群]]
*[[約化群]]

[[Category:李代數]]