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在[[数学]]中，在[[复数 (数学)|复数]][[向量空间]]''V''上的'''半双线性形式'''是映射''V'' × ''V'' → '''C'''，它在一个参数上是[[线性映射|线性]]的而在另一个参数上是[[反线性映射|反线性]]（半线性）的。比较于[[双线性形式]]，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。

一个主要例子是在复数向量空间上的[[内积]]，它不是双线性的而是半双线性的。

==定义和習慣==

对哪个参数应当是线性的有不同的習慣。這裡采用第一个是半線性（共轭线性）而第二个参数是线性。基本上所有物理学家皆使用這習慣，這習慣起源于[[保罗·狄拉克|狄拉克]]在[[量子力学]]中使用的[[狄拉克符号]]。數學家則可能使用相反的習慣。

指定映射φ : ''V'' × ''V'' → '''C'''是半双线性的，如果
:<math>\begin{align}
&\phi(x + y, z + w) = \phi(x, z) + \phi(x, w) + \phi(y, z) + \phi(y, w)\\
&\phi(a x, b y) = \bar a b\,\phi(x,y)\end{align}</math>
对于所有''x,y,z,w'' ∈ ''V''和所有''a'', ''b'' ∈ '''C'''。

半双线性形式可以被看作双线性形式
:<math>\bar V \times V \to \mathbb C</math>
这里的<math>\bar V</math>是''V''的[[複共轭向量空间]]。通过[[张量积]]的泛性质，它一一对应于(复数)线性映射
:<math>\bar V \otimes V \to \mathbb C.</math>

对于''V''中固定的''z''，映射<math>w \mapsto \phi(z,w)</math>是在''V''上的[[线性泛函]]（也就是[[对偶空间]]''V''* 的一个元素）。类似的，映射<math>w \mapsto \phi(w,z)</math>是''V''上的[[共轭线性泛函]]。

给定''V''上任何半双线性形式φ，我们可以通过[[共轭转置]]定义第二个半双线性形式ψ：
:<math>\psi(w,z) = \overline{\phi(z,w)}</math>
一般而言，ψ和φ是不同的。如果它们相等，则φ被称为Hermitian形式。如果它们相互为负值，则φ被称为斜-Hermitian形式。所有半双线性形式可以写为一个Hermitian形式和一个斜-Hermitian形式的和。

==几何动机==

双线性形式一般化了平方（<math>z^2 \,</math>），而半双线性形式一般化了[[欧几里得空间|欧几里得范数]]（<math>|z|^2 = z^*z \,</math>）。

关联于半双线性形式的[[范数]]在乘以复数圆（单位范数的复数）的乘法下是不变的，而关联于双线性形式的范数是（关于平方）[[等变]]的。双线性形式在代数上更加自然，而半双线性在几何上更加自然。

如果''B''是在复数向量空间上的双线性形式而
<math>|x|_B := B(x,x) \,</math>是关联的范数，则 
<math>|ix|_B = B(ix,ix)=i^2 B(x,x) = -|x|_B \,</math>。

相反的，如果''S''是在复数向量空间上的半双线性形式而
<math>|x|_S := S(x,x) \,</math>是关联的范数，则
<math>|ix|_S = S(ix,ix)=\bar i i S(x,x) = |x|_S \,</math>。

== 埃尔米特形式==

:<small>这个术语还称呼在[[埃尔米特流形]]上的特定[[微分形式]]。</small>

'''埃尔米特形式'''（也叫做'''对称半双线性形式'''）是半双线性形式''h'' : ''V'' × ''V'' → '''C'''，有着
:<math>h(w,z) = \overline{h(z, w)}</math>
在'''C'''<sup>''n''</sup>上的标准埃尔米特形式为
:<math>\langle w,z \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{w}_iz_i.</math>
更一般的说，在任何[[希尔伯特空间]]上的[[内积]]都是埃尔米特形式。

如果''V''是有限维的空间，则相对于''V''的任何[[基 (线性代数)|基]]{''e''<sub>''i''</sub>}，埃尔米特形式可表示为[[埃尔米特矩阵]]'''H'''：
:<math>h(w,z) = \overline{\mathbf{w}}^T \mathbf{Hz}</math>
'''H'''的分量给出为''H''<sub>''ij''</sub> = ''h''(''e''<sub>''i''</sub>, ''e''<sub>''j''</sub>)。

关联于埃尔米特形式的[[二次形式]]
:''Q''(''z'') = ''h''(''z'',''z'')
总是[[实数]]的。实际上可证明半双线性形式是埃尔米特形式，[[当且仅当]]关联的二次形式是实数的，对于所有''z'' ∈ ''V''。

== 斜-埃尔米特形式 ==

'''斜-埃尔米特形式'''（也叫做'''反对称半双线性形式'''）是半双线性形式ε : ''V'' × ''V'' → '''C'''，有着
:<math>\varepsilon(w,z) = -\overline{\varepsilon(z, w)}</math>
所有斜埃尔米特形式可以写为[[虚单位|''i'']]乘以埃尔米特形式。

如果''V''是有限维空间，则相对于任何''V''的[[基 (线性代数)|基]]{''e''<sub>''i''</sub>}，斜埃尔米特形式可表示为[[斜埃尔米特矩阵]]'''A'''：
:<math>\varepsilon(w,z) = \overline{\mathbf{w}}^T \mathbf{Az}</math>

关联于斜埃尔米特形式的二次形式
:''Q''(''z'') = ε(''z'',''z'')
总是纯[[虚数]]。

[[Category:多重线性代数|B]]