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{{NoteTA|G1=Math}}
{{About|数学上的区间概念|铁路运输的区间概念|闭塞 (铁路)}}
[[File:Interval0.png|thumb|400px|在圖中的數軸上，所有大于''x''和小于''x''+''a''的数组成了一个开区间。]]
'''區間'''（{{lang-en|interval}}）在[[數學]]上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的[[预序集]]元素的集合，一般以[[集合 (數學)|集合]]形式表示。

== 簡說 ==
在[[初等代數]]，傳統上區間指一個[[集合 (数学)|集]]，包含在某兩個特定[[實數]]之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示'''排除'''，方括號表示'''包括'''。例如，開區間<math>(10, 20)</math>表示所有在<math>10</math>和<math>20</math>之間的實數，但不包括<math>10</math>或<math>20</math>。另一方面，閉區間<math>[10, 20]</math>表示所有在<math>10</math>和<math>20</math>之間的實數，以及<math>10</math>和<math>20</math>。<ref>{{cite web |title=Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Interval_and_segment |website=encyclopediaofmath.org |publisher=Springer & The European Mathematical Society |accessdate=2021-05-18 |archive-date=2014-12-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141226211146/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Interval_and_segment }}</ref>

== 定义 ==
=== 实区间 ===
在赋予通常序的实数集<math>\mathbb R</math>里，以<math>a,b\in\mathbb R</math>为端点的'''开区间'''和'''闭区间'''分别是：
:<math>(a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a<x<b\}</math>
:<math>[a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a\le x\le b\}</math>
类似地，以<math>a,b</math>为端点的两个'''半开区间'''定义为：
:<math>(a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a<x\le b\}</math>
:<math>[a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a\le x<b\}</math>
在一些上下文中，两个端点要求满足<math>a<b</math>。这排除了<math>a=b</math>从而区间或是[[单元素集合]]或是[[空集]]的情形，也排除了<math>a>b</math>从而区间为空集的情形。

只有左端点<math>a</math>的'''开区间'''和'''半开区间'''分别如下。
:<math>(a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x>a\},</math>
:<math>[a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x\ge a\},</math>

只有右端点<math>b</math>的'''开区间'''和'''半开区间'''分别如下。
:<math>(-\infty,b)=\{x\in\mathbb R\colon x<b\},</math>
:<math>(-\infty,b]=\{x\in\mathbb R\colon x\le b\},</math>

整个实数线等于没有端点的区间：
:<math>(-\infty,\infty)=\mathbb R</math>

=== 偏序集或预序集中的区间 ===
区间的概念在任何[[偏序集]]或者更一般地，在任何[[预序集]]中有定义。对于[[预序集]]<math>(X,\lesssim)</math>和两个元素<math>a,b\in X,</math>，我们可以类似定义<ref name="Vind">{{cite book
|last=Vind
|first=Karl
|title=Independence, additivity, uncertainty
|language=en
|series=Studies in Economic Theory
|volume=14
|publisher=Springer
|location=Berlin
|date=2003
|isbn=978-3-540-41683-8
|doi=10.1007/978-3-540-24757-9
|zbl=1080.91001
}}</ref>{{rp|11, Definition 11}}
:<math>(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}</math>
:<math>[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}</math>
:<math>(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}</math>
:<math>[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}</math>
:<math>(a,\infty)=\{x\in X\colon a<x\}</math>
:<math>[a,\infty)=\{x\in X\colon a\lesssim x\}</math>
:<math>(-\infty,b)=\{x\in X\colon x<b\}</math>
:<math>(-\infty,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}</math>
:<math>(-\infty,\infty)=X</math>
其中<math>x<y</math>意思是<math>x\lesssim y\not\lesssim x</math>。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
:<math>\bar X=X\sqcup\{-\infty,\infty\}</math>
:<math>-\infty<x<\infty\qquad(\forall x\in X)</math>
上具有两个端点的区间，使得它是<math>X</math>的子集。当<math>X=\mathbb R</math>时，可以取<math>\bar\mathbb R</math>为[[扩展实数线]]。

=== 序凸集和序凸分支 ===
[[预序集]]<math>(X,\lesssim)</math>的子集<math>A\subseteq X</math>是'''序凸集'''，如果对于任意<math>x,y\in A</math>以及任意<math>x\lesssim z\lesssim y</math>有<math>z\in A</math>。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在[[有理数]]的[[全序集]]<math>(\mathbb Q,\le)</math>中，
:<math>\mathbb Q=\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\}</math>
是序凸集，但它不是<math>\mathbb Q</math>的区间，这是因为2的平方根在<math>\mathbb Q</math>中是不存在的。

设<math>(X,\lesssim)</math>是一个[[预序集]]，且<math>Y\subseteq X</math>。包含在<math>Y</math>中的<math>X</math>的序凸集关于包含关系构成[[偏序集]]。这个偏序集的[[极大元]]叫做<math>Y</math>的'''序凸分支'''。<ref name="Heath">{{cite journal
|last1=Heath
|first1=R. W.
|last2=Lutzer
|first2=David J.
|last3=Zenor
|first3=P. L.
|title=Monotonically normal spaces
|language=en
|journal=Transactions of the American Mathematical Society
|volume=178
|pp=481–493
|date=1973
|issn=0002-9947
|doi=10.2307/1996713
|mr=0372826
|zbl=0269.54009
}}</ref>{{rp|Definition 5.1}}由[[佐恩引理]]，包含在<math>Y</math>中的<math>X</math>的任意序凸集包含于<math>Y</math>的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在[[全序集]]中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，[[全序集]]的子集的序凸分支构成[[集合划分|分划]]。

== 區間算術 ==
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

:<math>T \times S = \{ x \mid {}</math>屬於<math>T</math>的某些<math>y</math>，及屬於<math>S</math>的某些<math>z</math>，使得<math>x = y \times z \}</math>

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集<math>[a, b]</math>及<math>[c, d]</math>：
:<math>[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]</math>
:<math>[a, b] - [c, d] = [a - d, b - c]</math>
:<math>[a, b] \times [c, d] = [\min\{ac, ad, bc, bd\}, \max\{ac, ad, bc, bd\}]</math>
:<math>\frac{[a, b]}{[c, d]} = \left[ \min \left\{ \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c}, \frac{b}{d} \right\}, \max \left\{ \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c}, \frac{b}{d} \right\} \right] </math>

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合[[交換律]]、[[結合律]]和子[[分配律]]：集<math>X(Y + Z)</math>是<math>XY + XZ</math>的子集。

== 另一種寫法 ==
在[[法国]]及其他一些[[欧洲]]国家，用<math>] [</math>代替<math>()</math>來表示开区间，例如：

:<math>\left] a, b\right[ = \{ x \mid a < x < b \}</math>
:<math>\left[ a, b\right] = \{ x \mid a \le x \le b \}</math>
:<math>\left[ a, b\right[ = \{ x \mid a \le x < b \}</math>
:<math>\left] a, b\right] = \{ x \mid a < x \le b \}</math>

[[國際標準化組織]]編制的[[ISO 31-11]]也允許這種寫法<ref>{{cite web |title=ISO 31-11:1992 |url=https://www.iso.org/standard/3653.html |website=ISO |language=en |access-date=2021-05-18 |archive-date=2021-05-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210518074815/https://www.iso.org/standard/3653.html }}</ref>。

另外，在[[小數點]]以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將<math>[1, 2.3]</math>寫成<math>[1; 2,\!3]</math>。若只把小數點寫成逗號，就會變成<math>[1, 2,\!3]</math>，此時不易判斷究竟是<math>1.2</math>與<math>3</math>之間，還是<math>1</math>與<math>2.3</math>之間的閉區間。

== 參考 ==

<references />

[[Category:拓扑空间|Q]]
[[Category:集合论|Q]]