查看“︁匹配渐近展开法”︁的源代码

'''匹配渐近展开法'''（{{lang-en|method of matched asymptotic expansions}}）是[[数学]]中用于获得[[方程]]或[[方程组]]高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于[[奇异摄动]][[微分方程]]的求解。

对于许多奇异摄动问题而言，可以将[[定义域]]分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则[[摄动理论]]获得[[渐近展开]]级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。<ref name=verhulst>{{cite book | author=Verhulst, F. | title=Methods and Applications of Singular Perturbations: Boundary Layers and Multiple Timescale Dynamics | url=https://archive.org/details/methodsapplicati0000verh | publisher=Springer | year=2005 | isbn=0-387-22966-3 }}</ref><ref>{{Cite book | author=Nayfeh, A. H. | title=Perturbation Methods | series=Wiley Classics Library | year=2000 | publisher=Wiley-Interscience | isbn=978-0-471-39917-9 }}</ref><ref>{{Cite book |author1=Kevorkian, J. |author2=Cole, J. D. | title=Multiple scale and singular perturbation methods | year=1996 | publisher=Springer | isbn=0-387-94202-5 }}</ref>

== 示例 ==
考虑[[边值问题]]
:<math> \epsilon y'' + (1+\epsilon) y' + y = 0,</math>
其中<math>y</math>为时间<math>t</math>的函数，定义域从0到1，边界条件为<math>y(0)=0</math>与<math>y(1)=1</math>。<math>\epsilon</math>是一个小参数，满足<math>0<\epsilon\ll 1</math>。

=== 外解（''t''&nbsp;=&nbsp;''O''(1)） ===
由<math>\epsilon</math>十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取<math>\epsilon=0</math>，有
:<math>y'+y=0.\,</math>
该方程的解为
:<math>y=Ae^{-t}\,</math>
其中<math>A</math>为常数。使用边界条件<math>y(0) = 0</math>，有<math>A=0</math>。而如果使用另一个边界条件<math>y(1) = 1</math>，则有<math>A=e</math>。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着<math>\epsilon=0</math>的假设不能在整个定义域中都适用（即[[奇异摄动]]问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中<math>\epsilon</math>与自变量<math>t</math>相比不能再忽略不计。这个边界层位于<math>t=0</math>一侧。于是我们使用另一个边界条件<math>y(1) = 1</math>得到适用于边界层以外区域的外解<math>y_O=e^{1-t}\,</math>。

=== 内解（''t''&nbsp;=&nbsp;''O''(''&epsilon;''））===
在边界层之内，<math>t</math>与<math>\epsilon</math>都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的''O''(1) 时间变量<math>\tau = t/\epsilon</math>。于是原先的边值问题可以改写为
:<math> \frac{1}{\epsilon} y''(\tau ) + \left( {1 + \epsilon } \right)\frac{1}{\epsilon }y'(\tau ) +  y(\tau ) = 0,\,</math>
将两边同乘<math>\epsilon</math>再取<math>\epsilon = 0</math>，得到
:<math>y'' + y' = 0. \, </math>
该方程的解为
:<math>y=B-Ce^{-\tau}\,</math>
其中<math>B</math>与<math>C</math>为常数。使用边界层内的边界条件<math>y(0)=0</math>，得到<math>B=C</math>。故内解为
:<math>y_I  = B\left( {1 - e^{ - \tau } } \right)= B\left( {1 - e^{ - t/\epsilon } } \right).\,</math>

=== 匹配 ===
由于对于中间大小的<math>t</math>（<math>\epsilon \ll  t \ll 1</math>）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即<math>\lim_{\tau \rightarrow \infty} y_I  = \lim_{t \to 0} y_O \,</math>。由此得到常数<math>B=e</math>。

=== 合并 ===
[[Image:Singular perturbation convergence.svg|thumb|right|400px|<math>\epsilon</math>取不同值时的近似解]]
最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值<math>\,y_\mathrm{overlap}</math>（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为<math>e</math>。故可以得到原边值问题的最终近似解为
:<math>y(t) = y_I  + y_O  - y_\mathrm{overlap} = e\left( {1 - e^{ - t/\epsilon } } \right) + e^{1 - t}  - e = e\left( {e^{ - t}  - e^{ - t/\epsilon } } \right).\,</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:微分方程]]
[[Category:渐近分析]]