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{{Pi box}}
{{古希腊三大名题}}

[[File:Squaring the circle.svg|right|thumb|化圓為方：求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同。]]

'''化圓為方'''是[[古希臘]]数学里[[尺規作圖]]领域當中的命題，和[[三等分角]]、[[倍立方]]問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一[[正方形]]，其[[面積]]等於一給定[[圓]]的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为<math>\pi</math>的线段。

进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为[[规矩数]]。所有规矩数都是[[代数数]]。而1882年，数学家[[费迪南德·冯·林德曼]]證明了<math>\pi</math>為[[超越數]]，因此也證實該問題僅用[[尺規作圖|尺規]]是無法完成的。

如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助[[西皮阿斯]]的{{link-en|割圓曲線|quadratrix}}，[[阿基米德螺線]]等。

==背景简介==
===尺规作图法===
{{main|尺规作图}}
在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍[[尺规作图]]的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是<ref name="clj"/>：
:直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
:圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法<ref name="clj"/>：
* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，确定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
* 若兩已知圓相交，确定其交點。
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。<ref name="clj"/>
===问题叙述===
化圓為方问题的完整叙述是：
{{cquote|给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积}}
如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度<math>\sqrt{\pi}</math>倍的线段。{{r|kmc}}

== 不可能性的證明 ==
{{main|規矩數}}
===圆周率的超越性===
化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出<math>\sqrt{\pi}</math>的长度。这等价于从1开始作出<math>\pi</math>。然而，能够用尺规作出的数{{math|z}}都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式{{math|m}}，使得
:<math>m(z) = 0.</math>
然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率<math>\pi</math>来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为[[超越数]]，而将有对应的多项式的数称为[[代数数]]。所有规矩数都是代数数，而<math>\pi</math>不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原載於科學月刊第九卷第四期<!--|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw-->|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>

林德曼证明<math>\pi</math>的超越性用到了现在称为[[林德曼－魏尔斯特拉斯定理]]的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数<math>z_1, z_2, \cdots , z_n</math>在有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上线性独立，那么<math>e^{z_1}, e^{z_2}, \cdots , e^{z_n}</math>也在<math>\mathbb{Q}</math>上线性独立。反设<math>\pi</math>是代数数，那么<math>\pi i</math>也是代数数。考虑代数数0和<math>\pi i</math>，由于<math>\pi i</math>是无理数，所以它们在<math>\mathbb{Q}</math>上线性独立。然而<math>e^{0}</math>和<math>e^{\pi i}</math>分别是1和-1，并非在<math>\mathbb{Q}</math>上线性独立，矛盾。这说明<math>\pi</math>不是代数数，而是超越数。{{r|kmc}}

== 参考来源 ==
{{reflist
|refs=
<ref name="kmc">{{cite web|author=康明昌|title=《古希臘幾何三大問題》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw|work=原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出<!--||publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw-->|accessdate=2013-05-29|archive-date=2004-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20040406190055/http://episte.math.ntu.edu.tw/|dead-url=no}}</ref>
}}

== 另见 ==
* [[印第安纳圆周率法案]]

== 外部連結 ==
* [http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no6b.htm HPM 通訊第6卷第6期, 3大作圖題] {{Wayback|url=http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no6b.htm |date=20071103065334 }} 介紹如何使用其他曲線（或幾何特性）再加上尺規作圖，來求解化圓為方問題。

{{-}}
{{古希臘數學}}

[[Category:平面幾何]]
[[Category:圓周率]]
[[Category:数学问题]]