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[[物理学]]和[[工程学]]中，[[振荡]][[信号 (信息论)|信号]]的'''包络'''是一条勾勒出极值的光滑[[曲线]]。<ref name=Johnson/>因此，包络将恒定[[振幅]]的概念推广为'''瞬时振幅'''。下图展示了在上包络与下包络之间振荡的调制[[正弦曲线]]。包络函数可以是时间、空间、角度或任何变量的函数。
[[File:Signal envelopes.png|thumb|调制正弦曲线的包络]]

==拍频波==
[[File:Modulated wave.png|right|thumb|由两个振幅相同、波长和频率几乎相同的正弦波相加产生的调制波。]]
在空间x和时间t中产生包络函数的常见情况是波长和频率几乎相同的两个波的叠加：<ref name=Kinsman>

{{cite book |title=Wind Waves: Their Generation and Propagation on the Ocean Surface |author=Blair Kinsman |year=2002 |url=https://books.google.com/books?id=RlhZc4HAS5oC&pg=PA186 |pages=186 |publisher=[[Courier Dover Publications]] |isbn=0486495116 |edition=Reprint of Prentice-Hall 1965}}

</ref>
:<math>
\begin{align}
F(x, \ t) & = \sin \left[  2 \pi \left( \frac {x}{\lambda - \Delta \lambda } - ( f + \Delta f )t \right) \right] + \sin \left[  2 \pi \left( \frac {x}{\lambda + \Delta \lambda } - ( f - \Delta f )t \right) \right] \\[6pt]
& \approx 2\cos  \left[  2 \pi \left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} -  \Delta f \ t \right) \right] \ \sin \left[  2 \pi \left( \frac {x}{\lambda} -  f \ t \right) \right]
\end{align}
</math>

其中使用了两个正弦波相加的三角函数，以及近似值Δ''λ''&nbsp;≪&nbsp;''λ''：

:<math>\frac{1}{\lambda \pm \Delta \lambda}=\frac {1}{\lambda}\ \frac{1}{1\pm\Delta \lambda / \lambda }\approx \frac{1}{\lambda}\mp \frac {\Delta \lambda}{\lambda^2} .</math>

此处调制波长''λ''<sub>mod</sub>来自下式：<ref name=Kinsman/><ref name=Denny>

{{cite book |title=Air and Water: The Biology and Physics of Life's Media |author=Mark W. Denny |url=https://archive.org/details/airwaterbiologyp0000denn |url-access=registration |pages=[https://archive.org/details/airwaterbiologyp0000denn/page/289 289]  |publisher=[[Princeton University Press]] 
|isbn=0691025185 |year=1993}}

</ref>
:<math> \lambda_{\rm mod} =  \frac {\lambda^2}{\Delta \lambda}\ . </math>
调制波长是包络波长的两倍，因为余弦波的每半个波长都控制着正弦波的正负值。同样，''[[拍频]]''是包络波的频率，是调制波频率的两倍，即2Δ''f''。<ref name=Tipler/>

如果这种波是声波，耳朵听到的是与''f''有关的频率，振幅随拍频的变化而变化。<ref name=Tipler/>

===相速度与群速度===
[[Image:Wave group.gif|frame|红色方块以[[相速度]]移动，绿色圆圈以[[群速度]]传播。]]
除2{{pi}}之外，上述正弦波的参数是：
:<math>\xi_C =\left( \frac {x}{\lambda} -  f \ t \right)\ , </math>
:<math>\xi_E=\left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} -  \Delta f \ t \right) \ , </math>
下标''C''、''E''分别指载波和包络。同样的振幅''F''来自相同的ξ<sub>C</sub>、ξ<sub>E</sub>值，在适当相关的x、t选择下，每个本身都可能返回到相同的值。这种不变性意味着可以在空间中追踪波形，并找到固定振幅的位置在时间中传播时的速度；要使载波参数保持不变，条件为：
:<math>\left( \frac {x}{\lambda} -  f \ t \right) = \left( \frac {x+\Delta x}{\lambda} -  f (t + \Delta t) \right)\ , </math>
这表明，要保持恒定振幅，距离Δ''x''与时间间隔Δ''t''的关系是''[[相速度]]'' ''v''<sub>p</sub>

:<math>v_{\rm p} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda f \ . </math>
另一方面，同样的考虑表明包络线是''[[群速度]]'' ''v''<sub>g</sub>:<ref name=Eberly/>
:<math>v_{\rm g} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda_{\rm mod}\Delta f =\lambda^2 \frac{\Delta f}{\Delta \lambda} \ . </math>

引入波向量k，可得更常见的群速度表达式：
:<math>k=\frac{2\pi}{\lambda} \ . </math>
注意到，对于微小变化Δ''λ''而言，相应的波向量小变化Δ''k''为：
:<math> \Delta k = \left|\frac{dk}{d\lambda}\right|\Delta \lambda = 2\pi \frac{\Delta \lambda}{\lambda^2} \ , </math>
于是群速度可重写为：
:<math> v_{\rm g}= \frac {2\pi\Delta f}{\Delta k} =\frac {\Delta \omega}{\Delta k}\ , </math>
其中''ω''是以弧度/秒为单位的频率：''ω'' = 2{{pi}}''f''。在所有介质中，频率和波向量都与[[色散关系]]''ω'' = ''ω''(''k'')有关，群速度可以写成：

:<math>v_{\rm g} =\frac{d\omega (k)}{dk} \ . </math>
[[File:Phonon dispersion relations in GaAs.png|thumb|200px|与GaAs晶格振动对应的某些波的色散关系&omega;=&omega;('''k''')。<ref name=Cardona/>]]
在经典[[真空]]等介质中，电磁波的色散关系为：
:<math>\omega = c_0 k </math>
其中''c''<sub>0</sub>是经典真空中的[[光速]]。这种情况下，相速度和群速度都是''c''<sub>0</sub>。

在所谓[[色散 (光学)|色散介质]]中，[[色散关系]]可能是波向量的复杂函数，相速度和群速度也不尽相同。例如，对于GaAs中原子振动（[[声子]]）表现出的几种波，不同波向量k方向的色散关系如图所示。一般而言，相速度和群速度的方向可能不同。<ref name=Cerveny/>

==函数近似==
{{See also|K·p微扰论}}
[[File:Electron probabilities in GaAs quantum well.png|thumb|根据包络函数计算的GaAs-GaAlAs异质结中160Ǻ GaAs量子阱最低两个量子态的电子概率。<ref name=Bastard/>]]

[[凝聚态物理学]]中，晶体中移动电荷载流子的能量[[本征函数]]可表为[[布洛赫定理|布洛赫波]]：
:<math>\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \ ,</math>

其中''n''是带的编号（如导带或价带），'''r'''是空间位置，'''k'''是[[波矢]]。指数是正弦变化函数，对应一个缓慢变化的包络，调制波函数''u''<sub>''n'', '''k'''</sub>的快速变化部分，描述波函数在晶格原子核心附近的行为。包络只限于晶体[[布里渊区]]限定范围内的'''k'''值，这就限制了它随位置'''r'''变化的速度。

用[[量子力学]]确定载流子行为时，通常使用包络近似法。其中[[薛定谔方程]]被简化到仅指包络的行为，边界条件直接应用于包络函数，而非完整的波函数。<ref name= Schuller/>例如，被困在杂质附近的载流子波函数受包络函数''F''支配，函数是布洛赫函数的叠加：
:<math>\psi( \mathbf r )= \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}u_{\mathbf {k}}(\mathbf r ) \ , </math>
其中包括''F''('''k''')的傅立叶分量由近似薛定谔方程求得。<ref name=impurity/>在某些应用中，周期部分''u''<sub>'''k'''</sub>被带缘附近的值取代，如'''k'''='''k'''<sub>0</sub>，接着：<ref name=Schuller/>
:<math>\psi( \mathbf r )\approx \left( \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}\right)u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) =  F( \mathbf r )u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) \ . </math>

==衍射图样==
[[File:Double-slit diffraction pattern.png|thumb|200px|双峰[[衍射图样]]具有单缝包络线。]]
多缝[[衍射图样]]的包络由单缝衍射图样决定，后者的包络线如下：<ref name=Harris/>
:<math>I_1=I_0 \sin^2\left(\frac {\pi d \sin \alpha}{\lambda}\right) / \left(\frac {\pi d \sin \alpha }{\lambda}\right)^2 \ , </math>
其中α是衍射角，''d''是狭缝宽度，λ是波长。对多个狭缝，图样为<ref name=Harris/>
:<math>I_q = I_1 \sin^2 \left( \frac {q\pi g \sin \alpha} {\lambda} \right)  /  \sin^2  \left( \frac{ \pi g \sin \alpha}{\lambda}\right) \ , </math>
其中''q''为狭缝数量，''g''是光栅常数。第一个因子即单缝结果''I<sub>1</sub>''，调制着第二个变化更快的因子，取决于狭缝数量与间距。

==估计==
[[包络检波器]]是从信号中提取包络的电子电路。

在[[数字信号处理]]中，可用[[希尔伯特变换]]或[[滑动平均]]RMS振幅估计包络。<ref name="MathWorks 2021">{{cite web | title=Envelope Extraction - MATLAB & Simulink | website=MathWorks | date=2021-09-02 | url=https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html | access-date=2021-11-16 | archive-date=2023-10-19 | archive-url=https://web.archive.org/web/20231019214501/https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html | dead-url=no }}</ref>

==另见==

*[[解析信号#复包络/基带]]
*[[包络线]]
*{{link-en|包络追踪|Envelope tracking}}
*[[瞬时频率]]
*[[调变]]
*[[振荡 (数学)]]

==参考文献==
{{reflist|refs=

<ref name=Bastard>
{{cite book |title=Solid state physics: Semiconductor Heterostructures and Nanostructures |chapter=''Figure 10 in'' Electronic States in Semiconductor Heterostructures |author1=G Bastard |author2=JA Brum |author3=R Ferreira |isbn=0126077444 |year=1991 |editor1=Henry Ehrenreich |editor2=David Turnbull |chapter-url=https://books.google.com/books?id=6ZffQs8hvt0C&pg=PA259 |page=259}}
</ref>

<ref name=Cardona>
{{cite book |title=Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties |author1=Peter Y. Yu |author2=Manuel Cardona |chapter-url=https://books.google.com/books?id=5aBuKYBT_hsC&pg=PA111 |page=111 |chapter=Fig. 3.2: Phonon dispersion curves in GaAs along high-symmetry axes |isbn=978-3642007095 |year=2010 |edition=4th |publisher=Springer}}
</ref>

<ref name=Cerveny>

{{cite book |author1=V. Cerveny |author2=Vlastislav Červený |title=Seismic Ray Theory |chapter-url=https://books.google.com/books?id=Moj_V-8U0tEC&pg=PA35 |page= 35 |chapter=§2.2.9 Relation between the phase and group velocity vectors |isbn=0521018226 |year=2005 |publisher=[[Cambridge University Press]]}}

</ref>

<ref name=Eberly>
{{cite book |title=Laser Physics |author1=Peter W. Milonni |authorlink1=Peter W. Milonni|author2=Joseph H. Eberly |chapter-url=https://books.google.com/books?id=f7g0Mx5RR3cC&pg=PA336 |page=336 |chapter=§8.3 Group velocity |isbn=978-0470387719 |year=2010 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |edition=2nd}}
</ref>

<ref name=Harris>
{{cite book |author=Kordt Griepenkerl|title=Handbook of physics |chapter-url=https://books.google.com/books?id=c60mCxGRMR8C&pg=PA306 |pages=306 ''ff'' |editor1=John W Harris |editor2=Walter Benenson |editor3=Horst Stöcker |editor4=Holger Lutz |chapter=Intensity distribution for diffraction by a slit ''and'' Intensity pattern for diffraction by a grating |isbn=0387952691 |year=2002 |publisher=Springer}}
</ref>

<ref name=impurity>
For example, see {{cite book |title=Electron Spin Resonance and Related Phenomena in Low-Dimensional Structures |chapter-url=https://books.google.com/books?id=t8q_87tnSewC&pg=PA224 |pages=224 ''ff'' |chapter=§1.1 Envelope function approximation|author=Marco Fanciulli |isbn=978-3540793649 |year=2009 |publisher=Springer}}
</ref>

<ref name=Johnson>
{{cite book |title=Software Receiver Design: Build Your Own Digital Communication System in Five Easy Steps |chapter-url=https://books.google.com/books?id=LNea1qui1KcC&pg=PA417 |page=417 |chapter=Figure C.1: The envelope of a function outlines its extremes in a smooth manner |author1=C. Richard Johnson, Jr |author2=William A. Sethares |author3=Andrew G. Klein |isbn=978-0521189446 |year=2011 |publisher=Cambridge University Press}}
</ref>

<ref name=Schuller>

{{cite book |title=Inelastic Light Scattering of Semiconductor Nanostructures: Fundamentals And Recent Advances |author=Christian Schüller |chapter-url=https://books.google.com/books?id=gOrVwg05Xk4C&pg=PA22 |page=22 |chapter=§2.4.1 Envelope function approximation (EFA) |isbn=3540365257 |year=2006 |publisher=Springer}}

</ref>

<ref name=Tipler >
{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=BMVR37-8Jh0C&pg=PA538 |page=538 |isbn=978-1429201247 |publisher=Macmillan |year=2008 |author1=Paul Allen Tipler |author2=Gene Mosca |edition=6th |title=Physics for Scientists and Engineers, Volume 1}}
</ref>
}}

[[Category:干涉]]
[[Category:干涉测量学]]
[[Category:振动和波]]
[[Category:无线电调制模式]]
[[Category:无线电电子学]]