查看“︁勾股数”︁的源代码

{{onesource|time=2022-10-12}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Rtriangle.svg|200px|right]]
'''勾股数'''，又名'''商高數'''或'''-{zh-cn:毕氏数; zh-sg:勾股数; zh-tw:勾股數;}-'''（Pythagorean triple），是由三个[[正整数]]组成的数组；能符合[[勾股定理]]（毕式定理）「<math>a^2+b^2=c^2</math>」之中，<math>(a,b,c)</math>的正整数解。而且，基于勾股定理的[[定理|逆定理]]，任何[[边长]]是勾股数组的[[三角形]]都是[[直角三角形]]。

如果<math>(a,b,c)</math>是勾股数，它们的正整数[[倍数]]，也是勾股数，即<math>(na,nb,nc)</math>也是勾股数。若果<math>(a,b,c)</math>三者[[互质]]（它们的[[最大公因数]]是 1），它们就称为'''素勾股数'''或'''本原勾股數組'''。

== 找出素勾股数 ==
以下的方法可用来找出'''素'''勾股数。设<math>m>n</math>、<math>m</math>和<math>n</math>均是正整数，

:<math>a=m^2-n^2</math>
:<math>b=2mn</math>
:<math>c=m^2+n^2</math>

若<math>m</math>和<math>n</math>是[[互质]]，而且<math>m</math>和<math>n</math>為一奇一偶，计算出来的<math>(a,b,c)</math>就是素勾股数。（若<math>m</math>和<math>n</math>都是[[奇数]]，<math>(a,b,c)</math>就会全是[[偶数]]，不符合[[互质]]。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

== 例子 ==
以下是小于 100 的素勾股数：
{|border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="border-collapse:collapse;"
!<math>a</math>!!<math>b</math>!!<math>c</math>
|-
|3||4||5
|-
|5||12||13
|-
|7||24||25
|-
|8||15||17
|-
|9||40||41
|-
|11||60||61
|-
|12||35||37
|-
|13||84||85
|-
|16||63||65
|-
|20||21||29
|-
|28||45||53
|-
|33||56||65
|-
|36||77||85
|-
|39||80||89
|-
|48||55||73
|-
|65||72||97
|}

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：<math>(20,21,29)</math>与<math>(20,99,101)</math>。

其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現<math>(3,4,5)</math>及<math>(5,12,13)</math>。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

:<math>1229779565176982820</math>
:<math>1230126649417435981</math>
:<math>1739416382736996181</math>

与

:<math>1229779565176982820</math>
:<math>378089444731722233953867379643788099</math>
:<math>378089444731722233953867379643788101</math>

试考虑它的质因数分解

:<math>1229779565176982820 = 2^2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47</math>

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

== 性質 ==
對於'''本原勾股數組'''<math>(a,b,c)</math>，<math>a^2+b^2=c^2</math>，我們有
*<math>a,b,c</math>兩兩互質
*<math>a,b</math>其中一個是3的倍數
*<math>a,b</math>其中一個是4的倍數
*<math>a,b,c</math>其中一個是5的倍數
對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數<math>\equiv 0,1 \pmod{3}</math> 若<math>a,b</math>都不是3的倍數，則<math>a^2+b^2 \equiv 2 \pmod{3}</math>，導致<math>c^2 \equiv 2 \pmod{3}</math> 矛盾，所以<math>a,b</math>一定有且只有一個數是3的倍數。

因為<math>(a,b,c)</math>是本原勾股數組，所以必有<math>a,b</math>一奇一偶。不妨設<math>a</math>為奇數，<math>b</math>為偶數，這時候對<math>a^2+b^2=c^2</math>兩邊同時<math>\bmod 8</math>，則會得到<math>b^2 \equiv 0 \pmod{8} </math>，故<math>4\mid b</math>，所以<math>a,b</math>一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數<math>\equiv 0,1,4 \pmod{5}</math> 若<math>a,b,c</math>都不是5的倍數，則<math>a^2+b^2 \equiv 0</math>或<math>2</math>或<math>3\pmod{5}</math>，而<math>c^2 \equiv 1</math> 或<math>4\pmod{5}</math>，矛盾，所以<math>a,b,c</math>一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

== 找尋勾股數的小技巧 ==
若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的[[奇數]]，將該數自乘為[[平方數]]，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的[[奇數]]，三者必定形成一組勾股數<ref name="五四三">{{cite web|author1=宋蕙君|author2=陳柏揚|author3=謝明君|year=2008年|title=〈哇!這是什麼 5，4，3 啊!〉|url=https://twsf.ntsec.gov.tw/activity/race-1/48/high/030408.pdf|work=桃園縣立大竹國民中學|publisher=中華民國第四十八屆中小學科學展覽會|archiveurl=https://web.archive.org/web/20221012144311/https://twsf.ntsec.gov.tw/activity/race-1/48/high/030408.pdf|archivedate=2022-10-12}}</ref>。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如<math>(27,364,365)</math>並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是<math>(27,36,45)</math>，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數<math>x</math>，<math>x^2+1</math>、<math>x^2-1</math>與<math>2x</math>，三個數必為畢氏數<ref name="五四三"/>，例如：代入<math>x</math>為2，則<math>x^2+1</math>為5，<math>x^2-1</math>為3，<math>2x</math>為4，<math>(3,4,5)</math>為一組畢氏數。

== 推廣 ==
[[费马最后定理]]指出，若<math>a^n+b^n=c^n</math>，而<math>n</math>是大于 2 的整数，<math>(a,b,c)</math>即没有正整数解。

== 參見 ==
* [[勾股定理]]
* [[費馬最後定理]]
* [[特殊直角三角形#常見的勾股数]]

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20040219182427/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_01_1/page2.html 談費瑪最後定理第 2 頁]
* [https://web.archive.org/web/20050427013859/http://res.yp.edu.sh.cn/Resource/Book/Edu/KPTS/TS001038/0006_ts001038.htm 勾股定理]
* [https://web.archive.org/web/20050404113827/http://www.math.clemson.edu/~rsimms/neat/math/pyth/ Javascript 计算器]，用以计算 (<math>m^2-n^2,2mn,m^2+n^2</math>) 公式，以及如何推论此公式。
* [https://web.archive.org/web/20070927081747/http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/doc_file/triplet.doc 120 三元數組 (doc)]

{{Authority control}}

[[Category:丟番圖方程]]
[[Category:勾股定理|Triple]]
[[Category:数论中的平方]]
[[Category:平面几何算术问题]]