查看“︁勞侖茲協變性”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2024-11-05T01:59:54+00:00}}
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|G1=物理學
|G2=Math
}}
[[物理學]]中，'''勞侖茲協變性'''（{{lang-en|Lorentz covariance}}）是[[時空]]的一個關鍵性質，出自於[[狹義相對論]]，適用於全域性的場合。'''局域勞侖茲協變性'''（{{lang-en|Local Lorentz covariance}}）所指為僅「局域」於各點附近無限小時空區域的勞侖茲協變性，此則出於[[廣義相對論]]。勞侖茲協變性有兩個不同、但緊密關聯的意義：

# 一個[[物理量]]要稱為「勞侖茲協變的」（Lorentz covariant），則其是在[[勞侖茲群]]的[[群表象|表象]]下做變換。根據勞侖茲群的表象理論，這些量是以下述的量來建立的：[[标量 (物理学)|純量]]、[[四維矢量]]、[[張量|4-張量]]與[[旋量]]。注意到：比如[[時空|時空距離]]等純量在[[勞侖茲變換]]下保持不變，而被稱為一'''勞侖茲不變量'''（Lorentz invariant），亦即它們的變換是在[[平凡表象]]。
# 一[[方程式]]被稱為勞侖茲協變性的，是以其可以勞侖茲協變量的形式來寫出（有些混淆的地方是有些人在此處用「不變量」這個詞）。這樣的方程式的關鍵性質為：若其可在一個慣性參考系下成立，則他們可在任何[[慣性參考系]]成立（這是「若一張量的所有分量在一參考系中為零，則它們在所有參考系皆會是零」這項事實的結果）。這個條件是[[相對性原理]]的一項要求，即在兩個不同的慣性參考系中，所有非[[重力]]定律對於在同一時空事件的等同實驗必須做出一樣結果的預測。

''注意到''：「協變的」這個詞彙的使用不應與概念上相關的「一個[[協變向量]]」有所混淆。在[[流形]]上，詞彙「[[協變]]」與「[[逆變]]」指的是客體在廣義座標變換下是採怎樣的轉變方式。較易造成混淆的一點是：[[協變]]與[[逆變]]四維矢量都可以是勞侖茲協變量。

另有將此概念做推廣，以涵蓋[[龐加萊協變性]]與[[龐加萊不變性]]。

== 例子 ==
一般來說，一個勞侖茲張量的本質可以利用它帶有指標（含上、下標）的數量來辨識。若不帶有指標則表示它是個純量，若帶有一個指標則表示它是個向量，同理類推。

請注意：[[閔可夫斯基度規]]的形式被規定為 <math>diag(1, -1, -1, -1)</math> ，這是参考了[[約翰·傑克森]]（{{lang|en|John D. Jackson}}）的著作《經典電動力學》中所採用的形式。

===勞侖茲[[标量 (物理学)|純量]]===
[[時空間距]]：
:<math>\Delta s^2 = \eta_{ab} x^a x^b =c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \,</math>

[[原時]]（為一[[類時]]間距）：
:<math>\Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0</math>

[[靜質量]]：
:<math>m_0^2 c^2 = \eta_{ab} p^a p^b = \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2</math>

電磁學不變量：
:<math>F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)</math>
:<math>G_{cd}F^{cd}=\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = - \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)</math>

[[達朗貝爾]]/波算符：
:<math>\Box = \eta^{ab} \partial_a \partial_b = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>

此外还有电荷<math>q</math>和光速<math>c</math>。

===勞侖茲[[四維矢量]]===
[[四維座標]]：
:<math>x^a = [ct, x, y, z]</math>

[[偏微分]]算符：
:<math>\partial_a = \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right]</math>

[[四維速度]]：
:<math>U^a = \frac{dx^a}{d\tau} = \gamma \left[c, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right]</math>

[[四維動量]]：
:<math>p^a = m_0 U^a = \left[\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right]</math>

[[四维波矢]]：
:<math>k^a = \left[\frac{\omega}{c}, k_x, k_y, k_z\right]</math>

[[四维力]]：
:<math>f^a= \left[\frac{W}{c}, f_x, f_y, f_z\right]</math>
<math>W</math>是功率密度。

[[四維電流密度]]:
:<math>j^a = [c\rho, j_x, j_y, j_z] \,</math>

===勞侖茲4-張量===
[[克羅內克爾&delta;]]：
:{|border="0"
|-
|rowspan=2|<math>\delta^a_b = \begin{cases} 1,  \\ 0, \end{cases}</math>
| 如果 ''a''=''b'',
|-
| 如果 ''a''≠''b''.
|}

[[閔可夫斯基度規]]：
:{|border="0"
|-
|rowspan=3|<math>\eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} +1, \\-1,\\ 0, \end{cases}</math>
| 如果  ''a'' = ''b'' = 0,
|-
| 如果 ''a'' = ''b'' = 1,2,3
|-
| 如果 ''a'' ≠''b''.
|}

[[列維-奇維塔符號]]：
:{|border="0"
|-
|rowspan=3|<math>\epsilon_{abcd} = -\epsilon^{abcd} = \begin{cases}+1,\\-1,\\ 0,\end{cases}</math>
| 如果 {abcd} 是 {0123} 的偶[[置换]]，
|-
| 如果 {abcd} 是 {0123} 的奇[[置换]]，
|-
| 其它。
|}

[[電磁場張量]]：
:<math>F_{ab} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}</math>

[[對偶電磁場張量]]：
:<math>G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{bmatrix}</math>

== 相關條目 ==
* [[亨德里克·勞侖茲]]
* [[勞侖茲變換]]
* [[相對論]]
* [[廣義協變性]]
* {{link-en|違反勞侖茲不變性的微中子振盪|Lorentz-violating neutrino oscillations}}
* {{link-en|迴圈量子重力中的勞侖茲不變性|Lorentz invariance in loop quantum gravity}}

== 外部連結 ==
*https://web.archive.org/web/20190123122951/http://www.physics.indiana.edu/~kostelec/faq.html
*https://web.archive.org/web/20080601094838/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2005-5/
*http://www.nature.com/nature/journal/v393/n6687/full/393763a0_fs.html {{Wayback|url=http://www.nature.com/nature/journal/v393/n6687/full/393763a0_fs.html |date=20080305222442 }}
*http://www.nature.com/nature/journal/v424/n6952/full/nature01882.html {{Wayback|url=http://www.nature.com/nature/journal/v424/n6952/full/nature01882.html |date=20080305223215 }}
*http://www.nature.com/nature/journal/v424/n6952/full/4241007a.html {{Wayback|url=http://www.nature.com/nature/journal/v424/n6952/full/4241007a.html |date=20080305223210 }}
*http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PRVDAQ000067000012124011000001

[[Category:狹義相對論|L]]