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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{物理算符}}
在[[量子力學]]裏，'''動量算符'''（{{lang-en|'''momentum operator'''}}）是一種[[算符 (物理学)|算符]]，可以用來計算一個或多個粒子的[[動量]]。對於一個不帶[[電荷]]、沒有[[自旋]]的粒子，作用於[[波函數]] <math>\psi(x)\,\!</math> 的動量算符可以寫為
:<math>\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!</math> ；

其中，<math>\hat{p}\,\!</math> 是動量算符，<math>\hbar\,\!</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>i\,\!</math> 是[[虛數單位]]，<math>x\,\!</math> 是位置。

給予一個粒子的波函數 <math>\psi(x)\,\!</math> ，這粒子的動量[[期望值 (量子力学)|期望值]]為
:<math>\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\hat{p}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ dx\,\!</math> ；

其中，<math>p\,\!</math> 是動量。

==導引 1==
對於一個非[[相對論]]性的[[自由粒子]]，位勢 <math>V(x)=0\,\!</math> ，[[不含時薛丁格方程式]]表達為
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ \psi(x)=E \psi(x)\,\!</math> 。

其中，<math>\hbar\,\!</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math> 是粒子的[[質量]]，<math>\psi(x)\,\!</math> 是粒子的[[波函數]]，<math>x\,\!</math> 是粒子的位置，<math>E\,\!</math> 是粒子的[[能量]]。

這薛丁格方程式的解答 <math>\psi_k(x)\,\!</math> 是一個[[平面波]]：
:<math>\psi_k(x)= e^{ikx}\,\!</math> ；

其中，<math>k\,\!</math> 是[[波數]]，<math>k^2=2mE/\hbar^2\,\!</math> 。

根據[[德布羅意假說]]，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是
:<math>p=\hbar k\,\!</math> 。

自由粒子具有明確的動量 <math>p\,\!</math> ，給予一個[[系綜]]許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 <math>\hat{p}\,\!</math> 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 <math>p\,\!</math> ，那麼，不確定性 <math>\sigma_{p}=0\,\!</math> ，這自由粒子的量子態是[[可觀察量#確定態|確定態]]，是 <math>\hat{p}\,\!</math> 的[[本徵態]]，在[[位置空間]]({{lang|en|position space}})裏，[[本徵函數]]為 <math>\psi_k\,\!</math> ，[[本徵值]]為 <math>p\,\!</math> ：
:<math>\hat{p}\psi_k(x)=p\psi_k(x)\,\!</math> 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的[[本徵函數]]必須是自由粒子的波函數 <math>\psi_k(x)\,\!</math> <ref>{{citation | language = en | author = A. P. French| title = An Introduction to Quantum Phusics| date = 1978 |pages= pp. 443-444| publisher = W. W. Norton, Inc.| isbn =978-0393091069}}</ref>。

為了要達到此目標，勢必要令
:<math>\hat{p}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi_k(x)\,\!</math> 。

所以，可以認定動量算符的形式為
:<math>\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!</math> 。

==導引 2==
在[[古典力學]]裏，動量是質量乘以速度：
:<math>p=mv=m\frac{dx}{dt}\,\!</math> 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是[[機率性]]的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現<ref name=Griffiths>{{citation | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=pp. 15-18, 97-116}}</ref>：
:<math>\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\!</math> 。

那麼，用積分方程式來表達，
:<math>\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\ dx\,\!</math> ；

其中，<math>\Psi(x,\,t)\,\!</math> 是[[波函數]]。

取微分於積分號下，
:<math>\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi 
+\Psi^*\frac{\partial x}{\partial t}\Psi+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!</math> 。

由於 <math>x\,\!</math> 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

:<math>\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi 
+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

[[含時薛丁格方程式]]為
:<math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi\,\!</math> ；

其中， <math>V\,\!</math> 是位勢。

其[[共軛複數]]為
:<math>i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} - V\Psi^*\,\!</math> 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到
:<math>\begin{align}\langle p\rangle & = \frac{m}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - V\Psi^*x\Psi
 - \frac{\hbar^2}{2m}\Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\Psi^*xV\Psi \right) dx \\
 & =\frac{\hbar}{i2} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - \Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right)  dx \\
\end{align}\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

使用[[分部積分法]]，并利用当x趋于无穷大时波函数<math>\Psi\,\!</math>趋于零的特性，有
:<math>\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

:<math>\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^* x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用[[分部積分法]]，并利用当x趋于无穷大时波函数<math>\Psi\,\!</math>趋于零的特性）
:<math>(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\  \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx\,\!</math> 。

所以，
:<math>\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\!</math> 。

對於任意波函數 <math>\Psi\,\!</math> ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 <math>\hat{p}\,\!</math> 為 <math>\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!</math> 。

==厄米算符==
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 <math>O\,\!</math> 的期望值是實值的： 
:<math>\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!</math> 。

對於任意量子態 <math>|\psi\rangle\,\!</math> ，這關係都成立：
:<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!</math> 。

根據[[伴隨算符]]的定義，假設 <math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math> 是 <math>\hat{O}\,\!</math> 的伴隨算符，則 <math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!</math> 。因此，
:<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math> 。

這正是[[厄米算符]]的定義。所以，表示可觀察量的算符 <math>\hat{O}\,\!</math> ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 <math>|\psi\rangle\,\!</math> 的波函數為 <math>\psi(x)\,\!</math> ，
:<math>\begin{align}
\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right)\psi\ dx \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi\right)^*  \ dx =\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

對於任意量子態 <math>|\psi\rangle\,\!</math> ，<math>\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!</math> 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

==本徵值與本徵函數==
假設，動量算符 <math>\hat{p}\,\!</math> 的[[本徵值]]為 <math>p\,\!</math> 的[[本徵函數]]是 <math>f_p(x)\,\!</math> ：
:<math>\hat{p}f_p(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x}=p f_p(x)\,\!</math> 。

這方程式的一般解為，
:<math>f_p(x)=f_0 e^{ipx/\hbar}\,\!</math> ；

其中，<math>f_0\,\!</math> 是常數。

假設 <math>f_p(x)\,\!</math> 的定義域是一個有限空間，從 <math>x= - L\,\!</math> 到 <math>x=L\,\!</math> ，那麼，可以將 <math>f_p(x)\,\!</math> [[歸一化]]：
:<math>\int_{ - L}^{L}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - L}^{L}\ dx=|f_0|^2 2L=1\,\!</math> 。

<math>f_0\,\!</math> 的值是 <math>1/\sqrt{2L}\,\!</math> 。動量算符的本徵函數歸一化為 <math>f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}} e^{ipx/\hbar}\,\!</math> 。

假設 <math>f_p(x)\,\!</math> 的定義域是無窮大空間，則 <math>f_p(x)\,\!</math> 不是一個[[平方可積函數]]：
:<math>\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ dx=\infty\,\!</math> 。

動量算符的本徵函數不存在於[[希爾伯特空間]]內，不能直接地積分 <math>|f_p(x)|^2\,\!</math> 於無窮大空間，來使 <math>f_p(x)\,\!</math> 歸一化。

換另一種方法，設定 <math>f_0=1/ \sqrt{2\pi\hbar}\,\!</math> 。那麼，
:<math>\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_{p1}^*(x)f_{p2}(x)\ dx=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{ - \infty}^{\infty}e^{ - i(p1-p2)x/\hbar}\ dx=\delta(p1-p2)\,\!</math> ；

其中，<math>\delta(p1-p2)\,\!</math> 是[[狄拉克δ函數]]。

這性質不是普通的[[正交歸一性]]。稱這性質為'''狄拉克正交歸一性'''。因為這性質，動量算符的本徵函數是'''完備'''的。也就是說，任意波函數 <math>\psi(x)\,\!</math> 都可以表達為本徵函數的線性組合：

:<math>\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) f_p(x)\ dp=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) e^{ipx/\hbar}\ dp\,\!</math> ；

其中，係數 <math>c(p)\,\!</math> 是
:<math>c(p)=\int_{ - \infty}^{\infty}f_p^*(x)\psi(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x) e^{ - ipx/\hbar}\ dx\,\!</math> 。

==正則對易關係==
位置算符與動量算符的[[交換算符]]，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：
:<math>[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi\,\!</math> 。

所以，<math>[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar\,\!</math> 。這關係稱為位置算符與動量算符的[[正則對易關係]]。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是[[可觀察量#不相容可觀察量|不相容可觀察量]]。<math>\hat{x}\,\!</math> 與 <math>\hat{p}\,\!</math> 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，<math>\hat{x}\,\!</math> 的本徵態與 <math>\hat{p}\,\!</math> 的本徵態不同。

根據[[不確定性原理]]，
:<math>\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!</math> 。

由於 <math>x\,\!</math> 與 <math>p\,\!</math> 是兩個不相容可觀察量，<math>\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2\,\!</math> 。所以，<math>x\,\!</math> 的不確定性與 <math>p\,\!</math> 的不確定性的乘積 <math>\Delta x\ \Delta p \,\!</math> ，必定大於或等於 <math>\hbar/2\,\!</math> 。

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:物理算符|D]]